Terug naar: Wiskunde
Terug naar: Home Page
Geschiedenis van de Wiskunde
Romanian Translation - Vertaald in het Romeens
© 2014 - W alt's J ungle S tudio, N ederland - - > Mail: W J S N

. . . History of Mathematics: Egypt, Babylon, Greece, India, China and More
Português: Esta página pode ser traduzido aqui ; Español: La información que usted encuentra aquí, puede ser traducida ; English: This site can be translated ; русский: Перебод по бозможности здесь ; Français: Traduire est possible ici ; Deutsch: Besuchen Sie diese Webseite für eine Übersetzung ; Italiano: Qui puoi tradurre il testo in Italiano ; عربي Arabic: ترجمة ترجمة

Geschiedenis van de wiskunde tot ongeveer 1250
Kijk desgewenst ook op de: wiskunde.pagina.nl .
Samengesteld door: Drs. W. Jansen Heijtmajer

INLEIDING
Het accent in dit artikel ligt op: de geschiedenis van de wiskunde en op de wiskundige "schrijftaal" - vooral op de algebra, op de algebraïsche notaties en dus op hoe men het een en ander destijds noteerde. Er is dus een duidelijke relatie aanwezig met de (geschiedenis van de) schrijftaal. Vandaar dat er waar mogelijk "pictogrammen" gebruikt worden om het een en ander weer te geven.
Belicht worden onder meer de wiskundige en algebraïsche notaties vanaf 3500 voor Christus tot aan ongeveer 1250 na Christus. Er wordt een duidelijke driedeling in de tijd zichtbaar. De vroegste fase wordt veelal getypeerd als de retorische of mondelinge fase. Veel later ontstaat een werk- en schrijfwijze die kan worden omschreven als de syncopatische of syncopische fase . In deze periode ging men afkortingen van woorden gebruiken en ontstond dus voor het eerst een soort "verkorte schrijfwijze". De meest recente fase is de symbolische fase, waarin wiskundige symbolen werden gebruikt – de fase waarmee wij allen vertrouwd zijn (Boyer, 1968).
In dit artikel wordt hoofdzakelijk de niet-Europese geschiedenis behandeld (maar ook die van de Grieken). Speciale aandacht wordt geschonken aan de wederzijdse beïnvloeding: tussen Oost en West, waarbij onder "Oost" verstaan wordt de beschavingen in het huidige India en China en onder "West" de beschavingen uit Mesopotamië en Egypte plus de Griekse.
Uitgangspunt is, dat (wiskundige) kennis uitgewisseld werd door personen binnen een regio, streek of rijk, die dezelfde taal machtig waren. Hoe groter het rijk hoe groter het verspreidingsgebied en ook vaak het "taalgebied". Kennis werd ook overgedragen tussen streken en landen - en dan eerder en sneller indien het "buurlanden" betrof. Voorwaarde voor een dergelijke kennis-uitwisseling was dan wel de mate waarin sprake was van "toegankelijkheid". Hierbij moet onder meer gedacht worden aan transportmiddelen en concrete "verbindingswegen".
De hierboven vermelde wederzijdse beïnvloeding tussen Oost en West is van de genoemde factoren afhankelijk geweest. De diverse wereldrijken vanaf het Eerste Perzische Rijk tot en met het Mongoolse Rijk hebben hierbij een grote rol gespeeld. Soms waren individuele personen in hun eentje verantwoordelijk voor kennis-overdracht; denk aan Thales uit Griekenland en Polo uit Italië. Veel later ontstond de "geschreven taal" gevolgd door vele - ook weer geschreven - vertalingen, waarmee op veel grotere schaal kennis-uitwisseling plaats kon vinden.
Hiernaast worden de onderwerpen (paragrafen) vermeld: De Inhoudsopgave. Bij de keuze en volgorde van de titels van de paragrafen wordt aangesloten de ontwikkeling en verspreiding van wiskundige kennis in de tijd, zoals die in deze inleiding uiteen wordt gezet.

Mooie Bed & Breakfast: www.woudsebos.nl

Volgorde van de Onderwerpen

Voorwoord

Soemerië en Mesopotamië
Egyptische Beschaving
Indus beschaving in India
Akkad en Babylon
Egypte: Papyrus Moscow en Rhind
China: eerste teksten
Hindoe Beschaving in India
Egypte, Babylon en Assyrië
Assyrisch Rijk m.i.v. Egypte
Eerste Aramese en Griekse teksten
Eerste Indiase teksten
Tweede Babylonische rijk
Babylonische Wiskunde in Griekenland
Eerste Perzische rijk
Sanskriet wordt geformaliseerd
Grieks Geometrische Algebra
Grieks-Macedonische rijk
China: Rekenen met Machten
Romeinse Rijk
Chinese Wiskunde va. 100 v. Chr
Diophantische Algebra
Maya's: schift + cijfers
Chinese Wiskunde: 250-500 n Chr
Indiase Wiskunde va. 500 n. Chr
Tweede Perzische rijk
Indiase Wiskunde en haar Invloed
Hindoe getalsysteem
Indiase en Chinese Wiskunde
Oost Arabische rijk
Indiase en Arabische Wiskunde
Indiase Wiskunde vanaf de 9e eeuw
Vertalingen van Indiase Wiskunde
Hindoe-Arabische wiskunde in Europa
Mongoolse Rijk

Overdracht van wiskundige kennis Inhoud in het kort: samenvatting

Eerst volgt nu een kort Voorwoord en daarna de kern van dit artikel: een uitgebreide weergave van de geschiedenis van de wiskunde - vooral rekenen en algebra - weergegeven tot en met ongeveer 1250 na Christus. De periode daarna wordt hier niet behandeld. Kijk daarom desgewenst ook naar: De Geschiedenis van de Algebra, incl. Moderne Algebra . Daaronder volgt nog een Samenvatting, waarin aan de orde komen de belangrijkste bevindingen en conclusies op het terrein van wiskundige ontwikkelingen vanaf 3500 voor Christus tot aan ongeveer 1250 na Christus.
Het gebruikte bronmateriaal wordt onderaan vermeld.

Voorwoord
Het beschrijven van de geschiedenis van de wiskunde is en blijft altijd een onvolledig geheel. De gesproken taal en mondelinge overdracht over wiskundige kennis blijft helaas buiten beeld en dus zal men genoegen moeten nemen met materiaal, waarop inscripties, symbolen en tekeningen werden "geschreven", die ook nog eens "bewaard" zijn gebleven. De geschiedenis start daarom pas echt met de "uitvinding" en introductie van de "schrijftaal".


Tellen: de oudste vondsten
Ruim 8000 jaar geleden bestond er nog geen geschreven taal: er bestonden geen geschreven letters, woorden of zinnen, maar wel iets vergelijkbaars. Er bestonden al notaties voor cijfers; het bekendste voorbeeld is het "Ishango Bot", gevonden in Afrika (nabij het Edwardmeer - een van de bronnen van de rivier "De Nijl"). Er staan streepjes op het stuk bot, die bewust op een bepaalde manier en in een bepaalde volgorde in het bot zijn gekrast. De ouderdom van het bot wordt geschat op zeker 8000 jaar, maar sommigen gaan uit van een ouderdom van 20000 jaar.
In feite schreef men het getal 1 op door een kras te maken. Het getal 2 werd weergegeven door twee krassen, etc. Als je de "geschreven getallen" bij elkaar optelt, dan kom je uit op 60 - wellicht is het Ishango Bot daarom wel de basis voor het 60-tallig stelsel, dat eeuwen later zou ontstaan in Soemerië. Kijk verder op de volgende Belgische site onder: Ishango Bot of in "Wikipedia" onder: Ishango Beentje .

Soemerië en Mesopotamië: 3600-3000 voor Christus
3600-3000 v. Chr. Het zuiden van Mesopotamië wordt bewoond door Soemeriërs (regio "Soemer"). Wellicht kwamen zij in dit gebied vanuit de Indus vallei of omstreken. Dat zou mogelijkerwijs kunnen blijken uit onder meer de Maharenjo Daro Zegels uit de Indus vallei, die later gevonden werden in Mesopotamië. Het zou ook kunnen wijzen op contacten tussen de Indus beschaving aan de ene kant en de Soemeriërs of - wat later - de Babyloniërs aan de andere kant.

Ca 3000 v. Chr. De Soemeriërs beginnen een 60-tallig getal stelsel te gebruiken om financiële transacties te registreren. Het is een plaats-waarde systeem zonder een nul. Er is een symbool - een karakter - voor het cijfer 1 en een voor het cijfer 10 . Om b.v. de 2 en de 3 te noteren, wordt 2 resp. 3 maal het symbool voor de 1 gebruikt. Het is een additief groeperingstelsel. Het grondtal is 60. Tussen 60 en 3600 kan het getalsysteem gezien worden als een positie stelsel (de plaats waar symbolen staan bepaalt de waarde). Het werd geschreven van links naar rechts. Zie verder: Getallen van de Wereld .
De foto rechts geeft het "schrift" aan van ongeveer 2800 voor Christus.

Egypte: 3400-3000 voor Christus
3400-3100 v. Chr. De eerste symbolen voor cijfers en eenvoudige rechte lijnen worden gebruikt in Afrika - in Egypte aan de rivier "De Nijl". Rond ongeveer 3400 v. Chr. Er zijn 2 Koninkrijken in Egypte: Opper- en Neder- Egypte. Vanaf 3100 v. Chr. ontstaat Verenigd Egypte: begin van de Eerste Egyptische Dynastie.
Ca 3000 v. Chr. Er zijn hiëroglyfische cijfers in gebruik in Egypte. Er is een symbool - een karakter - voor het cijfer 1 en een voor het cijfer 10 . Om b.v. de 2 en de 3 te noteren, wordt 2 resp. 3 maal het symbool voor de 1 gebruikt: , . In feite is dit een kopie van wat eeuwen eerder al werd gedaan - een stuk zuidelijker - eveneens aan de rivier "De Nijl" (namelijk: op het Ishango Bot).
Ook gebruikte men "karakters" voor 100, 1000, etc. Het getalsysteem is dus een zgn. groeperingstelsel voor optellen (additief groeperingstelsel). Het werd geschreven van rechts naar links. Zie verder: Getallen van de Wereld .

Indus Beschaving: 3000-1500 voor Christus
3000-1500 v. Chr. De Indus vallei wordt bewoond door een oude beschaving (o.a. in Harappa). Men gebruikt gewichten en instrumenten om lengten te meten. Die instrumenten kwamen ook voor in Soemerië en dus is er wellicht sprake geweest van contact tussen beide oude beschavingen. Zie verder: Geschiedenis van de Schrijftaal .

Akkad en Babylon: 2500-1600 voor Christus
2500 v. Chr. De Dynastie van Akkad Sargon I van Akkad (2340 - 2284 v. Chr) sticht het Oud Akkadisch rijk rond de stad Babylon.
Ca 1950 v. Chr. Bewoners van Mesopotamië - Soemeriërs, Akkadiërs en/of Babyloniërs - lossen vierkantsvergelijkingen op.
1900-1600 v. Chr. Oud Babylonische rijk: Mesopotamië wordt bewoond door Soemeriërs en Akkadiërs en Babyloniërs. Het Soemerisch is als taal al bijna verdrongen.

Ca 1800 v. Chr. Babyloniërs gebruiken tabellen voor vermenigvuldiging.
De Babylonische cijfers worden gebruikt - gevonden op het Plimpton 322 tablet (zie plaatje). Uit de tablet blijkt dat men op de hoogte was van de zgn. de Stelling van Pythagoras (zoals die later genoemd zou worden).

De wiskunde uit de Oude Babylonische Periode (1800 - 1600 voor Christus) was geavanceerder dan die van Egypte. Hun uitmuntend "Sexagesima" (getallen systeem met grondtal 60) leidde tot een hoogontwikkelde algebra (Kline, 1972). Zij hadden algemene procedures voor het oplossen van vierkantsvergelijkingen, hoewel zij slechts één wortel (de positieve) als geldig beschouwden. In feite bezaten ze een formule voor vierkantsvergelijkingen. Zij behandelden ook het equivalent van systemen met twee vergelijkingen met twee onbekenden. Zij beschouwden sommige problemen met meer dan twee onbekenden gelijkwaardig aan het oplossen van hogere graads vergelijkingen.
Er werd gebruik gemaakt van (wiskundige) "symbolen", maar niet op grote schaal. Als bij de Egyptenaren was de algebra hoofdzakelijk retorisch. De procedures die werden gebruikt om problemen op te lossen werden onderwezen door voorbeelden te geven, maar verklaringen of bewijzen werden niet gegeven. Evenals de Egyptenaren zagen zij alleen positieve rationale getallen als geldig, hoewel zij ook benaderende oplossingen vonden voor problemen, die geen nauwkeurige rationale oplossing hadden (Boyer, 1968). Zie verder: Geschiedenis van de Algebra.
Ca 1750 v. Chr. Babyloniërs lossen lineaire en kwadratische algebraïsche vergelijkingen op, stellen lijsten samen met twee- en derdegraads wortels. Zij gebruiken de stelling van Pythagoras en wiskunde om hun kennis van astronomie uit te breiden.
De Wet van Hammurabi (Akkadisch) wordt in spijkerschrift op een zuil geschreven. Zie verder: Geschiedenis van de Schrijftaal .

Egypte - Papyrus: 1900-1600 voor Christus
Ca 1950 v. Chr. In Egypte wordt naast het hiëroglyfisch schrift ook steeds vaker het hiëratisch schrift (links) gebruikt. Hierbij werden "plaatjes" sneller - verkort en bondig - opgeschreven; het was dus een vereenvoudiging, precies zoals dat veelal plaats vindt met "handtekeningen".

1800 v. Chr. De Moscow Papyrus wordt geschreven: men gebruikt Egyptische cijfers.
Ca 1700 v. Chr. Papyrus Rhind (ook wel papyrus Ahmes genoemd) wordt geschreven. Het toont aan dat de Egyptische wiskunde vele technieken heeft ontwikkeld om problemen op te lossen. De vermenigvuldiging is gebaseerd op herhaalde verdubbelen en delen op herhaald halveren. 3.16 is de waarde voor Pi.
Veel van onze kennis over de oude Egyptische wiskunde, met inbegrip van algebra, is gebaseerd op de Papyrus "Rhind". Die werd geschreven rond 1650 voor Christus en wordt geacht de Egyptische wiskunde van ongeveer 1850 (voor Christus) te vertegenwoordigen. De Egyptenaren waren in staat om problemen op te lossen, die vergelijkbaar zijn aan het oplossen van lineaire vergelijkingen met een onbekende. Hun methode was wat nu wordt genoemd de "Method of false position" (vergelijking oplossen door proberen, checken en opnieuw proberen en checken, etc.). De algebra van de oude Egyptenaren was retorisch - er werden geen (wiskundige) symbolen gebruikt. De problemen werden eenvoudigweg geponeerd en daarna mondeling opgelost (Boyer, 1968). Zie verder: Geschiedenis van de Algebra.

China: eerste teksten 1500 voor Christus
1500 v. Chr. Oud Chinese [ ] cijfers in gebruik: [ Hangs en Taungs ]. Teksten in geschreven Chinees werden voor het eerste samengesteld: Chinees schrift .
Men gebruikt in China numerieke notaties, maakt rekenkundige berekeningen en telt met behulp van telstaafjes. Het stelsel heeft als grondtal 10. Er worden karakters gebruikt voor de cijfers 1, 2, 3, etc. alsmede voor 10, 100, 1000, etc. Diverse berekeningen worden uitgevoerd met kleine bamboe telstokjes. Voor “nul” werden spaties gebruikt. Optellen en aftrekken vindt plaats m.b.t. telstokjes en voor vermenigvuldigen gebruikt met tabellen tot aan 9 maal 9 toe. Zie ook: Getallen van de Wereld .
Later ging men - en ook nu nog - de volgende symbolen voor de cijfers 0, 1, ...., 10 gebruiken in China:

Hindoe Beschaving: 1500-800 voor Christus
1500-800 v. Chr. Vanaf ongeveer 1500 voor Christus trekken Ariërs India binnen: start van de Hindoe beschaving en einde van de oude Indus beschaving. De Dravidische taal van de Indus beschaving werd verdrongen, maar de Hindoe's namen wel culturele aspecten over.
De symbolen die deze beschaving later zou gaan gebruiken om getallen mee aan te geven staat hieronder; duidelijk is dat de zgn. Brahmi cijfers zijn afgeleid van de Chinese symbolen.

Egypte, Babylon en Assyrië: 1500-900 voor Christus
1500-1300 v. Chr. verzwakt Babylonische rijk: bewoners zijn Babyloniërs. Tussen 1400 en 1300 voor Christus wonen er in Babylon zowel Babyloniërs als Assyriërs.

In deze tijd kreeg de (omringende) Babylonische samenleving een complexer karakter en daarmee ook het pictografische schrift. De tekeningen of eigenlijk "logogrammen" werden abstracter en de tekens gingen ook steeds vaker losse letters voorstellen. Lettergrepen lijken de kern van woorden aan te geven. De lettergreep zorgde voor de verfijning van dit Soemerische/Babylonische schrift. Iemand moet bedacht hebben dat een pictogram zowel een voorwerp als een klank kon vertegenwoordigen. Zodra men een symbool eenmaal gebruikt heeft voor een klank zoals de naam van een voorwerp, dan kan men dat symbool daarna steeds opnieuw gebruiken wanneer de klank zich voordoet. In rebussen zien we hetzelfde principe. Een pictogram van een "trom" en van een "pet" levert een trompet op. (Man, 1990).

1350 v. Chr. De Amarna Brieven worden geschreven - in het Akkadisch. Ze werden gevonden in Egypte maar waren geschreven in spijkerschrift. Akhenaten oftewel Amenhotep IV (1369 - 1353 v. Chr) was in die tijd de belangrijkste heerser. De brieven zijn belangrijk omdat ze aantonen, dat er sprake was van (diplomatieke) contacten tussen Egypte, Babylon en Assyrië.
De tekening geeft duidelijk de routes aan, die men destijds gebruikte (de zgn. landbrug tussen Mesopotamië en Egypte). Naast de bewezen diplomatieke contacten waren er dus ook talloze andere contacten - waarschijnlijk vooral via deze "landbrug".

1300-885 v. Chr. Babylonië wordt uitsluitend nog bewoond door Assyriërs. De algemene cultuurtaal Akkadisch wordt rond 1200 v. Chr verdrongen door het Aramees.
1250 v. Chr. In Ugarit - in het huidige Syrië wordt een volledig alfabet geschreven in het spijkerschrift.
De foto geeft het schrift aan uit de Assyrische Periode en is van ongeveer 1000 voor Christus.

Assyrisch Rijk incl. Egypte en Mesopotamië: 900-550 voor Christus
885-612 v. Chr. Assyrische rijk: Mesopotamië wordt nu bewoond door Assyriërs. Vanaf 671 tot 525 v. Chr. wordt ook Egypte overheerst door de Assyriërs. Sargon II van Assyrië (720 - 705 v. Chr) was een van de belangrijke heersers in die tijd.

Eerste teksten in Aramees, Grieks en Hebreeuws: 850 voor Christus
850 v. Chr. De eerste vormen van geschreven Griekse teksten ontstaan. Dat geldt ook voor het Hebreeuws [ zie : (Oud) Grieks: alfabet en schrift en Hebreeuws: alfabet en schrift ] en voor de geschreven teksten in het Aramees, dat het spijkerschrift gaat verdringen en vervangen (Man, 2001). Zie verder: Geschiedenis van de Schrijftaal . De Grieken maar ook de Hebreeën gebruikten de karakters die ze voor letters gebruikten ook voor cijfers. Dit zgn. cijferstelsel had als grootste nadeel, dat een zeer uitgebreid alfabet nodig was, zodra men met grote getallen ging werken.

Baudhayana; Eerste Indiase teksten: 800 voor Christus
800 v. Chr. Baudhayana uit India schrijft artikelen over wat later de Stelling van Pythagoras zou gaan heten, maar ook over de uitkomst van de wortel uit 2. Een van de eerste in Brahmi schrift geschreven teksten. Zie verder: Hindi: alfabet en schrift en Geschiedenis van de Schrijftaal .
De eerste (bekende) wiskundige verslagen uit India dateren van ongeveer 800 voor Christus, maar werden van belang door en na Griekse invloeden. De wiskunde uit India was gebaseerd op en kwam voort uit de belangstelling voor astronomie en astrologie.

Tweede Babylonische rijk: 600-500 voor Christus
612-539 v. Chr. Tweede Babylonische rijk. Mesopotamië werd nu uitsluitend bewoond door Chaldeeën ook wel Arameeër genoemd. De spreektaal is Aramees.
600-575 v. Chr. Waarschijnlijk wordt in deze periode de Bijbel geschreven - m.n. het Oude Testament - in vnl. het Hebreeuws, maar deels ook in het Grieks en in het Aramees.

Babylonische wiskunde bereikt Griekenland
575 v. Chr. Thales brengt Babylonische wiskundige kennis naar Griekenland. Hij gebruikt meetkunde om problemen op te lossen zoals het berekenen van de hoogte piramides en de afstand van schepen van de kust. Het was Thales die voor het eerst begon met het opstellen van stellingen en het daarbij formuleren van bewijzen. Hij verbleef lange tijd in Egypte en in het (Aramese) Babylonische rijk.

Eerste Perzische rijk: 530-332 voor Christus
539-332 v. Chr. Eerste Perzische rijk : van de Indus tot aan de Middellandse zee. Egypte kwam onder Perzisch gezag van 525 tot 404 v. Chr. De Perzisch heerser Darius I de Grote gebruikte het spijkerschrift uit Mesopotamië om in Perzië zijn succesvolle veldslag op te schrijven. Zijn tekst zou later de sleutel vormen voor de ontcijfering van het spijkerschrift. Zie verder: Geschiedenis van de Schrijftaal . Mesopotamische, Perzische en Indiase wetenschappen gingen elkaar beïnvloeden. De residentie van Darius I de grote was de stad Soesa in de streek Elam (ten oosten van Mesopotamië).

Ca 500 v. Chr. Het Soemerische zestigtallig stelsel wordt - binnen het Eerste Perzische rijk - gebruikt om de posities van de zon, maan en planeten te registreren en te voorspellen.
Ca 400 v. Chr. Binnen het Eerste Perzische rijk gebruiken De Perzen en/of de Babyloniërs een symbool om op een lege plaats in hun getallen te wijzen, die in spijkerschrift werden geschreven. Er is geen aanwijzing dat dit als het getal "nul" geïnterpreteerd moet worden.
In Egypte wordt het hiëratisch schrift vereenvoudigd tot het demotische schrift. De karakters lijken nu meer op Arabische en Hebreeuwse karakters. Zie verder: Geschiedenis van de Schrijftaal

Panini formaliseert het Sanskriet
Ca 500 v. Chr. Een echt belangrijke ontwikkeling in de geschiedenis van Indiase wetenschap die een diepgaande invloed zou krijgen op alle wiskundige verhandelingen die volgden, was het pionierswerk van Panini (6de eeuw v. Chr) op het gebied van Sanskriet grammatica en taalkunde. Naast het uiteenzetten van een uitvoerige en wetenschappelijke theorie van fonetica, fonologie en de morfologie, kwam Panini met formele productieregels en definities, waarmee hij de Sanskriet grammatica in zijn verhandeling “Asthadhyayi” beschreef. De basis elementen zoals klinkers en medeklinkers, de woordsoorten zoals zelfstandige naamwoorden en de werkwoorden werden geplaatst in klassen. De constructie van samenstellingen en zinnen werd uitgewerkt via geordende regels, die van toepassing waren op onderliggende structuren net zoals dat plaats vindt in de formele taaltheorie.
Hiermee leverde het werk van Panini een voorbeeld van een wetenschappelijk notatie model, dat recentere wiskundigen geïnspireerd kan hebben om abstracte notaties te gaan gebruiken bij het karakteriseren van algebraïsche vergelijkingen en bij het presenteren van algebraïsche stellingen en resultaten in een wetenschappelijk format.
Filosofische doctrines hadden eveneens een diepgaande invloed op de ontwikkeling van wiskundige concepten en formuleringen. Ruimte en tijd werden beschouwd als onbegrensd in de kosmologie. Dit leidde tot een diepe interesse voor zeer grote getallen en definities met oneindige getallen. De oneindige aantallen werden gecreëerd door recursieve formules, zoals in “Anuyoga Dwara Sutra”. De Indiase (Jain) wiskundigen onderscheidden verschillende vormen van oneindigheid zoals oneindig in één richting, in twee richtingen, qua oppervlak, e.d. Zie verder: Indian Mathematics .
De Brahmi symbolen voor getallen waren destijds:

Grieks Geometrische Algebra
De Grieken uit de Klassieke Periode, die het bestaan van irrationale getallen ontkenden (niet kenden), vermeden het probleem door uitkomsten te presenteren als geometrische vormen en eenheden. Diverse algebraïsche identiteiten en constructies die gelijkwaardig waren aan het oplossen van vierkantsvergelijkingen werden uitgedrukt en bewezen middels geometrische vormen. Qua inhoud gingen ze nauwelijks verder dan wat de Babyloniërs hadden gedaan. Vanwege de vorm was de geometrische algebra van weinig praktische waarde. Deze benadering vertraagde de vooruitgang in de algebra voor verscheidene eeuwen. De belangrijkste prestatie lag in de toepassing van het redeneren via deductie en het beschrijven van algemene procedures (Boyer, 1968). Zie verder: Geschiedenis van de Algebra.
Ca 465 v. Chr. Hippasus schrijft over een "Bol van 12 pentagonen", waarmee waarschijnlijk verwezen wordt naar een "dodecahedron".
Ca 450 v. Chr. De Grieken beginnen afzonderlijke karakters gebruiken om hun cijfers weer te geven. Voor die tijd gebruikte ze de letters van hun alfabet als symbolen/karakters voor cijfers.
Enkele Grieken die een belangrijke bijdrage hebben geleverd zijn onderstaande:
Ca 450 v. Chr. Zeno van Elea presenteert zijn paradoxen.
Ca 440 v. Chr. Hippocrates van Chios schrijft "De Elementen", het eerste samenvattend overzicht van de onderdelen van de meetkunde.
Ca 425 v. Chr. Theodorus van Cyrene toont aan dat bepaalde vierkantswortels irrationaal zijn. Dit was al eerder bekend gemaakt, maar de schrijver is onbekend. 387 v. Chr. Plato richt zijn Academie in Athene op.
Ca 375 v. Chr. Archytas van Tarentum ontwikkelt de "mechanica". Hij bestudeert het "klassieke probleem" van het verdubbelen van de kubus en past wiskundige theorie op muziek toe. Hij construeert ook de eerste automaat.
Ca 360 v. Chr. Eudoxus van Cnidus ontwikkelt de theorie van proporties en de methode van eliminatie.
Ca 340 v. Chr. Aristaeus schrijft vijf boeken over kegelsneden.

Grieks-Macedonische rijk: 332-30 voor Christus
332-30 v. Chr. Grieks-Macedonische rijk : Alexander de Grote verovert het Perzische rijk, dus ook Egypte + Mesopotamië en stichtte in Egypte de stad Alexandrië, waar vele Griekse wiskundigen zich vestigden. Griekse en Indiase wiskunde gingen elkaar beïnvloeden. Na Alexander de Grote namen drie veldheden het bestuur over: Macedonië kwam onder Antigonus en zijn opvolgers, Egypte onder de Ptolomeeën en Syrië en Mesopotamië onder de Seleuciden. Noord Egypte kwam in 30 v. Chr in handen van de Romeinen (tot en met 395 na Christus).
Ca 300 v. Chr. Euclides geeft een systematische ontwikkeling van meetkunde weer in zijn "Stoicheion" (de Elementen). Hij geeft ook de wetten van spiegeling weer in "Catoptrics". Hij maakte ook veel werk van Pythagoras bekend in zijn geschriften. Aristarchus van Samos uit Griekenland gebruikt een geometrische methode om de afstand te berekenen van de Zon en de Maan t.o.v. de Aarde. Hij stelt ook voor dat de Aarde om de Zon cirkelt.
Ca 300 v. Chr. De Papyrus van Caïro van ongeveer 300 voor Christus wijst erop, dat tegen die tijd de Egyptenaren sommige problemen konden oplossen, die overeen kwamen met het oplossen van 2 tweede graads vergelijkingen met twee onbekenden. De Egyptische algebra werd helaas vertraagd en opgehouden door de wijze waarop breuken werden behandeld (Boyer, 1968).
Ca 250 v. Chr. Archimedes geeft in "Over de bol en de cilinder" de formules voor het berekenen van het volume van een bol en een cilinder. In "Metingen van de cirkel" geeft hij een benadering van de waarde met een methode, die betere benaderingen oplevert. In "Drijvende Lichamen" komt hij met wat nu het "principe van Archimedes" wordt genoemd en begint zo met de studie van "hydrostatica". Hij schrijft artikelen over de twee - en driedimensionale meetkunde, het bestuderen van cirkels, bollen en spiralen. Hij loopt met zijn ideeën ver voor zijn tijdgenoten uit; ze omvatten toepassingen van een vroege vorm van integreren/integralen.
Ca 235 v. Chr. Eratosthenes van Cyrene schat de omtrek van de Aarde met opmerkelijke nauwkeurigheid; hij vond een waarde, die ongeveer 15% te groot is. Rond ongeveer 230 v. Chr. ontwikkelt hij zijn zeefmethode om alle priemgetallen te vinden. Zie verder: Priemgetallen .
Ca 225 v. Chr. Apollonius van Perga schrijft "Bollen" waarin hij de termen "parabool", "ellips" en "hyperbool" introduceert.
Ca 200 v. Chr. Diocles schrijft "Over brandende spiegels", een verzameling van zestien voorstellen in meetkunde, waarbij meestal bewijzen gegeven worden op basis van kegels.
Ca 150 v. Chr. Hypsicles schrijft "Over het klimmen van sterren". In dit werk is hij de eerste om de Zodiac (letterlijk: Dierenriem) in 360 graden te verdelen. Het aantal van 360 = 6 maal 60 is gebaseerd op het een 60-tallig stelsel van de Soemeriërs.

Chinezen gebruiken machten
Ca 190 v. Chr Chinese wiskundigen gebruiken machten van 10 om grote aantallen te kunnen uitdrukken en gebruiken. Zie ook: Mathematics in China plus de site Wiskunde in het oude China .

Romeinse Rijk vanaf 140 voor Christus
Ca 140 v. Chr Romeinse rijk: De Romeinen veroveren Griekenland. Later ook Turkije, Noord Egypte en vanaf 120 na Christus werd ook Mesopotamië ingelijfd.
127 v. Chr. Hipparchus ontdekt het voortschrijden van de hemelequator en berekent de lengte van het jaar op 6,5 minuten na nauwkeurig. Zijn astronomisch werk maakt gebruik van een vroege vorm van trigoniometrie.
Ca 60 na Chr. Heron uit Alexandrië, Egypte, schrijft Metrica (Metingen). Het bevat formules voor het berekenen van oppervlakten en volumes.
Ca 150 na Chr. Ptolemeus produceert vele belangrijke geometrische resultaten met toepassingen voor de astronomie. Zijn versie van astronomie zal de geaccepteerde versie worden voor meer dan duizend jaar.
390 na Chr. Theon van Alexandrië, Egypte, produceert een versie van de Elementen van Euclides (met tekstuele veranderingen en sommige toevoegingen) waarop bijna alle volgende publicaties gebaseerd zijn.

Chinese Wiskunde: 100 voor Christus - 100 na Christus
Ca 100 v. Chr.Chinese wiskundigen zijn de eersten om negatieve getallen te introduceren. Ook wordt de stelling van Pythagoras bewezen.
“Zhoubi Suanjing” (De rekenkundige klassieker over Gnomon en de cirkel bewegingen van de hemellichamen) komt tot stand ergens tussen 100 v. Chr en 100 na Chr. De stelling van Pythagoras wordt gebruikt voor onderzoek en astronomie. De stelling wordt bewezen. Er worden breuken gebruikt in de berekeningen.
“Jiuzhang Suanshu” (De Negen Hoofdstukken over Wiskundige Kunst) wordt geschreven (tussen 100 v. Chr en 50 na Chr). Er worden 246 wiskundige problemen in 9 hoofdstukken behandeld. Het werk is het meest invloedrijke Chinese wiskundige manuscript, waarop ook eeuwen later nog steeds wordt terug gegrepen, met:

(Yan Li en Shi Ran Du, 1987). Zie verder: Mathematics in China .
Ca 1 na Chr. De Chinese wiskundige Liu Hsin gebruikt decimale breuken. Zie verder: Mathematics in China Ca 100 na Chr. Het eerste deel van de klassieke Chinese wiskundige tekst Jiuzhang Suanshu (Negen Hoofdstukken over Wiskundige Kunst) wordt samengesteld. Zie verder: Mathematics in China .

Diophantische Algebra vanaf 250 na Christus
250 na Chr. Diophantus van Alexandrië - Egypte - schrijft Arithmetica, een studie van de problemen van de getaltheorie waarin slechts de rationale getallen als oplossingen worden toegestaan. N.a.v. dit meesterwerk wordt sindsdien gesproken van Diophantische Algebra.
Deze wiskundige vertegenwoordigt het eindresultaat van een beweging onder de Grieken (Archimedes, Apollonius, Ptolemy, Heron, Nichomachus) vanaf de geometrische algebra tot aan een werkwijze, die onafhankelijk was van de meetkunde. Hij introduceerde de "Syncopatische" (zie definitie) wijze van schrijven van vergelijkingen, hoewel zoals hieronder wordt vermeld - de retorische stijl in gebruik bleef voor vele daarop volgende eeuwen.
De bekendheid van Diophantus berust met name op zijn "Arithmetica", waarin hij onbepaalde vergelijkingen aan de orde stelt - gewoonlijk twee of meer vergelijkingen met verscheidene variabelen, die een oneindig aantal rationale oplossingen hebben. Dergelijke vergelijkingen zijn vandaag de dag bekend als "Diophantische Vergelijkingen". Hij hanteerde geen methodes van generalisatie. Elk van de 189 problemen in Arithmetica wordt opgelost met een andere, verschillende methode. Hij aanvaardde alleen positieve rationale wortels en negeerde alle andere. Zodra een vierkantsvergelijking twee positieve rationale wortels had, gaf hij slechts één als oplossing. Er was geen deductieve structuur in zijn werk aanwezig (Boyer, 1968). Zie verder: Geschiedenis van de Algebra.

De Maya's uit Zuid Amerika: hun schrift en cijfers
Ca 250 na Chr. Maya's uit Zuid Amerika gebruikten voor het eerst karakters voor hun cijfers - het getalsystem was een bijna een plaats-waarde getalsysteem met 20 als basis.
1, , 2, , 3, , 4, , 5, , 6, Zie verder: Getallen van de Wereld maar ook de bijvoorbeeld: Wiskunde bij de Maya's .
Ook het Maya schrift ontstond in deze periode. Kijk voor details onder: Geschiedenis van de Schrijftaal .

Chinese Wiskunde: 250-500 na Christus
Ca 250 na Chr. Sun Zi schrijft in China zijn wiskundig handboek. Het omvat onder meer het "Chinees restprobleem". Zoek de waarde voor x in x/3 = 2/3 + n, x/5 = 3/5 + n, x/7 = 2/7 + n, waarbij n een natuurlijk getal is. Zijn oplossing was: x = 23.
Liu Hui (ca 263 na Chr) gaf commentaar op de Negen Hoofdstukken (Jiuzhang Suanshu).
Hij benadert het getal pi m.b.v. regelmatige veelhoeken in cirkels en verdubbelde vervolgens het aantal zijden om betere benaderingen te krijgen. Hij kwam uit bij 3,141014 en stelde voor om 3,14 te gaan gebruiken als een praktische benadering.
Hij stelt voor om het principe van Calvalieri te gebruiken om de inhoud van een cilinder nauwkeurig te kunnen vaststellen.
263 na Chr. Door een regelmatige veelhoek met 192 kanten te gebruiken berekent Lui Hui uit China de waarde van Pi als 3.14159, waarvan de eerste vijf decimalen correct zijn.
Ca 460 na Chr. In China geeft Tsu Ch'ung Chi de benadering 355/113 aan Pi, die voor 6 decimalen correct is. Zhang Qiujian schrijft zijn wiskundig handboek. Omvat formules waarmee rekenkundige reeksen berekend kunnen worden, maar ook een methode om oplossingen te vinden voor twee lineaire vergelijkingen met drie onbekenden.
Zu Chongzhi (429-500), astronoom, wiskundige en ingenieur, verzamelde oudere astronomische artikelen en verrichtte zelf astronomische observaties. Hij adviseerde om een nieuwe kalender in te voeren· Hij berekende pi op 7 decimalen nauwkeurig: 3,1415926 en stelde voor om 355/113 te gebruiken voor een goede benadering en 22/7 voor een grove. Samen met zijn vader volgde hij de suggestie van Liu Hui op om te zoeken naar een nauwkeurige formule voor de berekening van de inhoud van een bol (Yan Li en Shi Ran Du, 1987). Zie verder: Mathematics in China .

Indiase Wiskunde vanaf 500 na Christus
500 na Chr. Indiase wiskundigen boekten vooruitgang in zowel algebra als in rekenkunde. Zij ontwikkelden één of andere "symbolisme" dat, hoewel niet uitgebreid, afdoende was om Hindoe algebra als bijna symbolisch te classificerende - zeker meer dan de "syncopatische" (zie definitie) algebra van Diophantus. Echter alleen de stappen in de oplossingen van problemen werden geponeerd; redenen of bewijzen ontbraken. De Hindoes erkenden dat de vierkantsvergelijkingen twee wortels hadden en maakten onderscheid in negatieve en irrationale wortels. Zij konden echter niet alle vierkants-vergelijkingen oplossen, aangezien zij geen (vierkante) wortels van negatieve getallen als uitkomsten accepteerden. In onbepaalde vergelijkingen streefden de Hindoes Diophantus voorbij (Boyer, 1968). Zie verder: Geschiedenis van de Algebra
Eén van de grootste wetenschappers van de Gupta periode - Aryabhatta (geboren in 476 in Kusumpura, Bihar) - zorgde rond 500 in India voor een systematische behandeling van de positie van de planeten in de ruimte. Hij poneerde correct de draaiing van de aarde en concludeerde dat de banen van de planeten ellipsen waren. De wiskunde speelde een essentiële rol in Aryabhatta’s revolutionaire van het zonnestelsel. Zijn berekeningen over de omtrek van de aarde (62832 mijlen) en de lengte van het zonnejaar (binnen ongeveer 13 minuten van de moderne berekening) waren opmerkelijk goede benaderingen. Bij het maken van dergelijke berekeningen, moest Aryabhatta verscheidene wiskundige problemen oplossen die niet eerder met behulp van algebra (beej-ganit) en trigoniometrie (trikonmiti) waren aangepakt. Zie verder: Indian Mathematics
Aryabhatta I produceert zijn Aryabhatiya, een verhandeling over vierkantsvergelijkingen, de waarde van Pi (als 3.1416) en andere wetenschappelijke problemen. Aryabhatiya bevatte oplossingen met gehele getallen voor vergelijkingen als y = ax + b. Qua methode gelijkwaardig aan de moderne methode. Ook werden onbepaalde vierkantsvergelijkingen behandeld. Zie verder: Geschiedenis van de Algebra .
500 na Chr. In India wordt het getalsysteem Gwalior (positie stelsel) geïntroduceerd. Het getal systeem dat later de basis zou gaan vormen voor ons huidige getalsysteem. Zie verder: Getallen van de Wereld
Ca 500 na Chr. India: Hoewel Bhaskar I (geboren als Saurashtra, 6de eeuw en aanhanger van de Asmake school van wetenschappen in Nizamabad, Andhra) het genie Aryabhatta en zijn enorme waarde van zijn wetenschappelijke bijdragen erkende, bleven sommige latere astronomen in een statische aarde geloven en verwierpen zijn rationele verklaringen van de verduisteringen (eclipsen). Maar ondanks dergelijke tegenslagen, had Aryabhatta een diepgaande invloed op de astronomen en de wiskundigen die hem volgden, in het bijzonder op die van de school Asmaka.
Bhaskar I zette door waar Aryabhatta stopte, en besprak in detail onderwerpen zoals de omloopbanen van planeten; conjuncties van planeten met elkaar en met heldere sterren. Opnieuw vereisen deze studies nog meer geavanceerde wiskunde en Bhaskar I wijdde uit over trigoniometrisch vergelijkingen van Aryabhatta, en kwam netals hij met de stelling dat Pi een irrationaal getal was. Onder zijn belangrijkste bijdragen was zijn formule voor het berekenen van de sinusfunctie met 99% nauwkeurigheid. Hij verrichte ook pionierswerk aangaande onbepaalde vergelijkingen.
Een andere belangrijke astronoom/wiskundige was Varahamira (6de eeuw) die eerder geschreven teksten op astronomie samenvatte en met belangrijke toevoegingen kwam aan de trigoniometrische formules van Aryabhatta. Zijn werken aangaande permutaties en combinaties vulden aan wat eerder door wiskundigen was bereikt.
Ontwikkelingen waren er ook in de toegepaste wiskunde zoals in creatie van trigoniometrische tabellen en meeteenheden. Het werk “Tiloyapannatti” van Yativrsabha (6de eeuw) toont diverse eenheden voor het meten van afstanden en tijd en beschrijft ook het systeem van oneindige tijdmetingen. Zie verder: Indian Mathematics .

Tweede Perzische Rijk EN het Arabische Rijk
531-637 na Chr. Tweede Perzische rijk van de Indus tot aan de Middellandse zee. De Perzen hebben en/of krijgen veel contact met de Hindoe beschaving uit India. Veel later onder meer in de Middeleeuwen is dit ook het geval: het Perzisch werd in bepaalde kringen gesproken. Denkelijk hebben de Perzen tussen 531 en 637 na Christus kennis gemaakt met het Indiase getalsysteem en hebben de Arabieren het later van de Perzen overgenomen.
637-650 na Chr. Arabisch-Islamitisch rijk: De Arabieren veroverden het (Tweede) Perzische rijk.
750 na Chr. Arabisch-Islamitisch rijk: De Arabieren hebben nu heel Mesopotamië, Noord Afrika incl. Egypte, Spanje en het oude Perzische rijk veroverd (oost grens is India) - de Dynastie van Umayyad.

Invloed van Indiase wiskunde en getalsysteem
650 na Chr. Wiskundigen uit India introduceerden negatieve getallen om (geld)schulden weer te geven. Het eerste gebruik dat bekend is, is van Brahmagupta rond het jaar 628. Later kwam Bhaskara tot het inzicht, dat een positief getal twee wortels heeft.
In de 7de eeuw verrichtte Brahmagupta belangrijke werk in India bij het opsommen van de basisprincipes van de algebra. Naast het maken van lijsten van de algebraïsche eigenschappen van nul, maakte hij ook een lijst van de algebraïsche eigenschappen van negatieve getallen. Zijn werk inzake oplossingen voor onbepaalde vierkantsvergelijkingen was een voorloper van het werk van Euler en Lagrange. Het werk van Brahmagupta wordt rond 650 na Chr vertaald in het Arabisch.
Filosofische formuleringen betreffende Shunya - d.w.z. leegheid van de leegte kan geholpen hebben bij de introductie van het concept nul . Terwijl de nul (bindu) veel eerder als lege plek verschijnt in het plaats-waarde getalysteem, duiken algebraïsche definities van nul in relatie tot wiskundige functies op in de wiskundige verhandelingen van Brahmagupta in de 7de eeuw. Tussen 7de en 11de eeuw ontwikkelen de Indiase cijfers zich tot hun moderne vorm en samen met de symbolen voor diverse wiskundige functies (zoals plus, min, vierkantswortel, enz.) werd dat uiteindelijk de fundering voor de moderne wiskundige notatie.
Het bewijs voor de transmissie van het Indiase getalsysteem naar het Westen wordt geleverd door Joseph (G.G.Joseph, The crest of the peacock (Princeton University Press, 2000). Joseph citeert Severus Sebokht (662) in een Syrische tekst, beschrijvend de "subtiele ontdekkingen" van Indiase astronomen als zijnde "ingenieuzer dan die van de Grieken en Babyloniërs" en "hun waardevolle methodes voor berekeningen die een beschrijving overtreffen” en gaat daarna door met het getalsysteem (Gwalior) zelf te presenteren. Zie verder: Indian Mathematics .
650 na Chr. In India verschijnen vertalingen van Chinees wiskundig werk.

700 na Chr. Het Indiase getalsysteem "Gwalior" werd aangevuld met de nul (symbool 0) - voor de wiskunde een mijlpaal. Het is een zgn. positie-stelsel: er zijn slechts 10 karakters nodig: voor de cijfers 0, 1, 2 t/m 9. De waarde van getallen wordt bepaald door de plaats in het geheel. Dit positie stelsel wordt nu vrijwel overal op de wereld gebruikt.

Chinese en Indiase wiskunde
Wang Xiaotong (ca 625), wiskundige en astronoom in China. Hij schreef “Xugu Suanjing” (Voortzetting van Oude Wiskunde) met daarin 22 problemen. Hij loste derde machts vergelijkingen op door het algoritme voor derde machts wortels te generaliseren (Yan Li en Shi Ran Du, 1987).
Er worden Indiase wiskundige werken vertaald rond 650 na Chr.; in 600 na Chr waren 3 artikelen vertaald in het Chinees, waarvan er een bewaard is gebleven - Levensita van een Indiase astronoom. De onderwerpen waren hoekmeting (360 graden) en een tabel voor de sinus voor hoeken van 0 tot 90 graden in 24 stappen. Het Hindoe getalsysteem (Gwalior) werd ook in China geïntroduceerd , maar werd niet overgenomen.
750 na Chr. De boekdrukkunst wordt uitgevonden in China. Het gevolg was veel publicaties - ook wiskundige publicaties. Zie verder: Geschiedenis van de Schrijftaal .

Oost Arabisch rijk: 762-960 na Christus
762-960 na Chr. Oost Arabisch rijk: Het centrum werd wederom Mesopotamië (Bagdad), waar gedurende 2 eeuwen gewerkt werd aan wetenschap, wiskunde en vertalingen (van westers maar vooral van oosters werk). De eerste in het Arabisch schrift gestelde werken verschenen. Zie ook: Arabisch: alfabet en schrift
In deze periode vond ook de "geboorte plaats van Arabische motieven" (patronen). Voorbeelden zijn onder meer: Motief 1 , Motief 2 , Motief 3 - HOE men die patronen maakte, wordt hier uitgelegd.
In de tiende eeuw verscheen een handleiding van Abu al-Wafa (Abul Wafa) getiteld "Over die delen van de meetkunde belangrijk voor handwerkslieden" - wat de ambachtsman nodig had om geometrische constructies te maken". Belangrijkste hulpmiddel destijds was de wiskunde; wiskundige vergelijkingen liggen aan de basis van de Arabische geometrieën. Zo valt aan de hand van wiskundige vergelijkingen te bereken met welke figuren je een muur of ander tweedimensionaal vlak helemaal kunt opvullen, zonder ruimte over te laten. Er bestaan, zoals beschreven in het boek Islamic Patterns van Keith Critchlow, drie basisvormen daartoe in staat zijn: de driehoek, het vierkant en de zeshoek. Zie verder het artikel van Michael Persson over Moorse Motieven .
Het Oost Arabisch Getalsysteem ontstond rond 800 na Christus. Het wordt in de Arabische Wereld nog veel gebruikt in "helige teksten" - nauwelijks meer in het dagelijks leven. Maar in b.v. het huidige Perzië wordt het nog steeds gebruikt. Zie het plaatje hieronder:

Indiase en Arabische Wiskunde: 800-950 na Christus
800 na Chr. Zoals de Hindoes werkten ook de Arabieren "vrijelijk" met irrationale getallen. Zij deden een stap achteruit door negatieve getallen te verwerpen ondanks het feit, dat zij die van de Hindoes hadden geleerd. De algebra van de Arabieren was volledig retorisch.
De Arabieren waren in staat om vierkantsvergelijkingen op te lossen met twee oplossingen; irrationaal was mogelijk, maar meestal werd dat verworpen bij negatieve oplossingen (Boyer, 1968). Al Khwarizmi maakt astronomische tabellen o.b.v wiskundige kennis uit India. Zie verder: Geschiedenis van de Algebra.
Na de inval van de Arabieren werden Indiase wiskundige teksten meer en meer in het Arabisch en Perzisch vertaald. Hoewel de Arabische geleerden zich baseerden op een veelheid van bronmateriaal met inbegrip van Babylonische, Syrische, Griekse en een aantal Chinese teksten, speelden de Indiase wiskundige teksten een bijzonder belangrijke rol. Geleerden zoals Ibn Tariq en Al Fazari (8ste eeuw, Bagdad), Al Kindi (9de eeuw, Basra), Al Khwarizmi (9de eeuw, Khiva) en Al Qayarawani (9de eeuw, Magreb, auteur van Kitab fi al-isab al-hindi) waren onder de velen, die hun eigen wetenschappelijke teksten baseerden op vertalingen van Indiase verhandelingen. Zie verder: Indian Mathematics . 850-950 na Chr. Het Indiase getalsysteem wordt overgenomen en daarna ook gebruikt door Arabieren. Wellicht is dit gebeurd dankzij de tussenkomst van de Perzen, die tussen 531 en 637 na Christus veel intensieve contacten onderhielden met geleerden uit India. In ongeveer 950 na Christus werd het West Arabische Getalsysteem voor het eerst door Arabieren gebruikt. Deze "schrijfwijze" was evenals het Oost Arabische Systeem afgeleid van het Indiase Gwalior Systeem. Niet het Oost Arabische maar het West Arabische Systeem zou uiteindelijk de "Wereld-standaard" worden.

Indiase wiskunde vanaf de 9e eeuw
In het India van de 9de eeuw schreef Mahaviracharya (Mysore) “Ganit Saar Sangraha” waarin hij de destijds gangbare methode beschreef om het kleinste gemene veelvoud te berekenen. Hij leidde ook formules af om het oppervlak van een ellips te berekenen. De oplossing van onbepaalde vergelijkingen trok ook erg veel aandacht in de 9de eeuw, en verscheidene wiskundigen hielpen mee door benaderingen en oplossingen aan te dragen voor verschillende soorten onbepaalde vergelijkingen.
In de late 9de eeuw leverde Sridhara (waarschijnlijk uit Bengalen) wiskundige formules voor een heel reeks van praktische problemen over verhoudingen, ruilhandel, rente, mengsels, aankoop en verkoop, tarieven van reizen, lonen en het vullen van reservoirs. Sommige van de voorbeelden gaan over complexe oplossingen en zijn “Patiganita” wordt beschouwd als een geavanceerd wiskundig werk. De hoofdstukken uit het boek werden gezien als bijdragen voor rekenkundige en geometrische vooruitgang ten aanzien van het gebruik van breuken en termen en formules voor de som van eindige reeksen. Het wiskundige onderzoek ging door tot in de 10de eeuw. Vijayanandi (van Benares, wiens “Karanatilaka” vertaald werd in het Arabisch door Al Beruni) Sripati van Maharashtra behoren tot de prominente wiskundigen van de eeuw.
De vergelijkingen van Aryabhatta werden uitgewerkt door Manjula (10de eeuw).
Bhaskaracharya (12de eeuw) leidde de eerste afgeleide van de sinus functie af. Hij was de leidende wiskundige binnen de Indiase wiskunde van de 12de eeuw, hoofd van een astronomische waarnemingscentrum. Hij liet verscheidene belangrijke wiskundige teksten na met inbegrip van “De Lilavati”, “De Bijaganita” en “Siddhanta Shiromani” (een astronomische tekst). Hij was de eerste die in zag dat bepaalde soorten vierkantsvergelijkingen twee oplossingen konden hebben. Zijn “Chakrawaat” methode om onbepaalde oplossingen op te lossen ging vooraf aan de Europese oplossingen - met enkele eeuwen. In zijn “Siddhanta Shiromani” formuleerde hij dat de aarde een gravitatiekracht bezat en verbreedde hij de gebieden van de infinitesimaalrekening en integreren. Het tweede deel van zijn verhandeling bevat verscheidene hoofdstukken over de studie van de bol plus eigenschappen en over de toepassingen voor aardrijkskunde, beweging van planeten, de seizoenen, enz. Hij besprak ook astronomische instrumenten en bol-trigoniometrie. Zijn trigoniometrische vergelijkingen zijn met name belangrijk: sin(a + b) = sina x cosb + cosa x sinb en de vergelijking: sin(a - b) = sina x cosb - cosa x sinb. Zie verder: Indian Mathematics .

Vertalingen van Indiase Wiskunde
1150 na Chr. In India schrijft Bhaskara II zijn beroemde manuscript "Lilavati" (zie plaatje voor een detail van het manuscript). Schrijvers als Al Uqlidisi (10de eeuw, Damascus, auteur van “Het boek van Hoofdstukken over Indiase Rekenkunde), Ibn Sina (Avicenna), Ibn Al Ssamh (Granada, 11de eeuw, Spanje), Al Nasawi (Khurasan, 11de eeuw, Perzië), Al Beruni (11de eeuw, geboren in Khiva, overleden in Afghanistan), Al Razi (Teheran) en Ibn Al Saffar (11de eeuw, Cordoba) maakten gebruik van vertalingen van Indiase verhandelingen.

Uiteindelijk bereikte de Indiase algebra en de trigoniometrie Europa via een cyclus van vertalingen van de Arabische wereld naar Spanje en Sicilië om uiteindelijk in elk land van Europa door te dringen. Tegelijkertijd worden de Arabische [ ] en Perzische [ ] vertalingen van Griekse en Egyptische wetenschappelijke teksten gemakkelijker beschikbaar gemaakt in India.

Europeanen nemen direct kennis van Hindoe-Arabische Wiskunde
1085 na Chr. De Spaanse stad Toledo wordt veroverd op de Moren. In west Europa maakt men op deze wijze kennis met de Arabische wiskunde.
1200 na Chr. Leonardo van Pisa uit Italië oftewel Fibonacci groeit op in (Arabisch) Noord Afrika en maakt daar kennis met het superieure Hindo-Arabische getalsysteem en schrijft er (later) een boek over - Liber Abaci. Meer informatie: over deze Fibonacci plus HOE men de naar hem genoemde getallen later is gaan gebruiken voor patronen en motieven .
Europa maakt nu dus (opnieuw) kennis met de Hindoe-Arabische wiskunde.

Mongools Rijk en Invloed
1200-1279 na Chr. De Mongolen o.l.v. Djengiz Khan en later o.a. Kubilai Khan veroverden een rijk dat nog veel groter was dan dat van Alexander de Grote. Het Mongoolse schrift ontstaat. Zie verder: Geschiedenis van de Schrijftaal en Mongools alfabet en schrift .
Chinese soldaten uit de legers van de Khans kwamen tot aan de grenzen van Europa (in het westen van het rijk; het oosten bevatte uiteindelijk heel China). De Juan dynastie was een feit. In die tijd kwam Marco Polo uit Italië op bezoek bij de leiders van de Juan dynastie en nam talloze Chinese ideeën, technieken en vindingen mee naar Europa. Ook hier zien we contacten tussen oost en west - in dit geval tussen China en Europa - en uitwisseling van informatie en ideeën.


Samenvatting van de wederzijdse beïnvloeding: uitwisseling van (wiskundige) kennis
Hoe de overdracht van wiskundige kennis heeft plaats gehad is niet in alle gevallen exact te bepalen. Soms is dat wel glashard aan te tonen. In deze samenvatting wordt geprobeerd een overzicht in de tijd weer te geven waaruit blijkt via "welke wegen" de kennis-overdracht en -uitwissling denkelijk heeft plaats gevonden.

Contacten binnen "West" . De Amarna brieven (1350 voor Christus) bewijzen de (diplomatieke) contacten tussen Egypte en Babylon. De "verbindingswegen" werden middels een "landkaart" eveneens weergegeven. Zie aldaar.
De reizen van de Griek Thales naar Babylon en Egypte alsmede zijn verblijf in beide regio's zorgen voor de "import" van onder meer Babylonische wiskundige kennis van Babylon naar Griekenland (575 voor Christus). Zie onder "Thales".
Het Griekse-Macedonische Rijk (332-30 voor Christus) vanaf Alexander de Grote leidde tot nog veel meer uitwisselingen tussen onder meer Griekenland en Egypte, waar veel Griekse wetenschappers zich vestigden, maar ook tussen die twee regio's en Mesopotamië.

Contacten tussen "Oost" en "West". Het Eerste Perzische Rijk (539-332 voor Christus) leidde tot conctacten en kennis-uitwisseling tussen Babylon en Egypte aan de ene kant en India aan de andere kant. Zie aldaar.
Dat gold ook voor het Griekse-Macedonische Rijk (332-30 voor Christus) dat tot stond kwam o.l.v. Alexander de Grote. Daarnaast werd Griekenland zelf daar ook bij betrokken, hetgeen tijden lang zou leiden tot intensieve contacten tussen Egypte en Griekenland aan de ene kant en Perzië en India aan de andere kant. Vele Grieken reisden ook zelf helemaal naar India in die dagen.

Contacten binnen "Oost". Rond 200 voor Christus gingen Indiase wetenschappers karakters gebruiken om getallen aan te duiden, die afkomstig waren uit China. Een van de bewijzen van concrete contacten tussen China en India. Zie aldaar.

Contacten tussen "Oost" en "West". Het Tweede Perzische Rijk (531-637 na Christus) leidde wederom tot kennis-uitwisseling tussen Babylon en Egypte aan de ene kant en India aan de andere kant. Zie aldaar.
Dat gold ook voor het Arabisch-Islamitische Rijk (637-750 na Christus). Dit keer werd ook Spanje hierbij betrokken. Er waren talloze contacten tussen Spanje, Noord Afrika w.o. Egypte en Perzië en India.

Contacten binnen "Oost". De verdere ontwikkeling van de schrijftaal leidde al vanaf 600 na Christus tot vertalingen van Chinese teksten in India en andersom.
De Arabische invallen vanuit het Oost Arabische Rijk in India leidde tot vertalingen van Indiase teksten in zowel het Arabisch als het Perzisch (700-950 na Christus).
Arabieren namen in hun teksten het door hen aangepaste Indiase Gwalior systeem op. Hier was m.a.w. sprake van kennis-overdracht van India naar Arabische wetenschappers/schrijvers. Ook in die periode (rond 950 na Christus) maakten Arabieren gebruik van Chinese wiskundige teksten: zij vertaalden Chinees werk in het Arabisch.

Contacten tussen "Oost" en "West". Het Grote Mongoolse Rijk (1200-1279 na Christus) leidde tot contacten tussen Chinese soldaten en ambtenaren met (Oost) Europeanen. Marco Polo deed dat in de omgekeerde volgorde: hij bezocht het grote Mongoolse Rijk in die tijd en kwam met veel (wiskundige) kennis uit China terug in Europa.

Inhoud in het kort: Samenvatting
In Egypte en in Mesopotamië worden zo'n 5000 duizend jaar geleden symbolen en tekeningen gemaakt, die gebruikt werden om het getal 1 en 10 aan te duiden. Door combinaties te maken van die twee simpele symbolen, was men ook in staat om andere (gehele) getallen te "noteren".
Ruim duizend jaren later houden Babylonische wiskundigen zich bezig met vierkantsvergelijkingen, het vinden van de "wortels" en met wat later de stelling van Pythogoras zou gaan heten. Ongeveer 3700 jaar geleden is men in het oude Egypte bezig met vermenigvuldigen en delen; door herhaald te verdubbelen en resp. te halveren van aantallen en getallen. Ongeveer 200 jaar daarna gaan Chinezen telstaafjes gebruiken om berekeningen te kunnen uitvoeren en maakten zij ook tabellen voor vermenigvuldigingen.
Ca 2800 jaar geleden maakten mensen in verschillende talen in diverse landen en landstreken voor het eerst geschreven teksten: in het Aramees, Hebreeuws en Grieks. Op dit punt in de geschiedenis werd een mijlpaal bereikt: verschillende volkeren beschikten nu over een alfabet en over een bruikbare schrijftaal. De fase waarin kennis overdracht uitsluitend mondeling plaats vond, kwam (deels) tot een einde. De symbolen (= karakters) die gebruikt werden om te schrijven - de letters dus - werden ook gebruikt om getallen aan te duiden, hetgeen later de nodige problemen zou opleveren toen men ook met grotere getallen in de weer ging.
De Griek Thales zorgde ruim 200 jaar later voor een verbetering. Hij ging verder dan het benoemen van een wiskundig probleem met daarna de oplossing te geven. Hij startte met formuleringen en wat men nu wiskundige stellingen zou noemen en kwam vervolgens met bewijzen voor deze stellingen. Zijn bijdrage aan de ontwikkeling van wiskunde in Griekenland werd mede mogelijk gemaakt door zijn reizen door Egypte als Mesopotamië, waar hij veel wiskundige kennis opdeed, die hij later ook in Griekenland introduceerde.
In India introduceert Panini rond 500 voor Christus een wetenschappelijk notatie model, dat hij toepaste op de "schrijftaal" van India (Sanskriet): hij formaliseerde die volledig met behulp van duidelijke formuleringen, regels, afleidingen etc. Dit "model" zou latere wiskundigen geïnspireerd hebben om abstracte notaties te gaan gebruiken bij het karakteriseren van algebraïsche vergelijkingen en bij het presenteren van algebraïsche stellingen en resultaten in een wetenschappelijk format.
In de periode 450-200 voor Christus treedt ook in Egypte een verschuiving op in de schrijfwijze: karakters worden steeds vaker verkort opgeschreven: de pictogrammen maken plaats voor het demotisch schrift. In Griekenland introduceert men afzonderlijke karakters voor getallen in plaats van de letters van het eigen alfabet. De Grieken concentreerden zich meer en vaker op geometrische figuren: driehoeken, cirkels, kubussen en gingen op een vrij exacte wijze afstanden berekenen. In 300 voor Christus verschijnt een artikel van Euclides. Het behandelt de meetkunde en men kan duidelijk de systematische aanpak herkennen, die vandaag de dag in de wiskunde gangbaar is. Apollinius schrijft over ellipsen, parabolen en hyperbolen.
Rond 190 voor Christus gaat men in China "machten" gebruiken om grote aantallen en getallen aan te kunnen duiden. In 150 voor Christus behandelt Hypsicles het verschijnsel "hoeken" en daarbij verdeelt hij de Zodiac in 360 graden. Kort daarna gebruiken Chinezen negatieve getallen en breuken (100 voor Christus) en een eeuw later ook decimale breuken.
Rond 250 na Christus schrijft Diophantus zijn "Arithmetica" en introduceert daarmee een werkwijze, die geheel onafhankelijk is van de meetkunde: de "Syncopatische" schrijfwijze - de manier waarop vergelijkingen werden genoteerd. De voorganger - retorische stijl/methode - werd door anderen nog wel enkele euuwen gehanteerd.
Rond 500 na Christus ontwikkelden Indiase wiskundigen een soort van "symbolisme" waardoor men de Hindoe algebra kan bestempelen als (bijna) symbolisch - in ieder geval als "een stap voorbij de syncopatische fase". In India kwam een simpele getalsysteem tot stand: een eenvoudig positiestelstel met karaketrs/symbolen voor de getallen 1 t/m 9. Ongeveer 200 jaar later werd daar een symbool voor de "nul" aan toegevoegd. Alle andere getallen kon men nu gaan beschrijven m.b.v. deze reeks van slechts 10 karakters. Dit zgn. "Gwalior" getalsysteem zou later de wereld standaard worden.
In de zevende eeuw werden Indiase teksten vertaald in het Chinees en werden Chinese teksten vertaald in het Sanskriet/Hindi. In 750 werd de boekdrukkunst in China uitgevonden, hetgeen de uitwisseling van wiskundige kennis deed toenamen (eerst vooral binnen China).
Tijdens het Oost Arabische Rijk - tussen 800 en 950 - werden steeds vaker wetenschappelijke artikelen geschreven en vertaald: vanuit het Chinees, Hindi en Grieks naar het Arabisch en vanuit het Sanskriet naar het Perzisch en Chinees. De wiskunde en de wiskundige praktijk en methodieken werden steeds meer "gemeengoed" maar de "westerse wereld" zou pas eeuwen later "volgen". N.B. In de Geschiedenis van Cijfers en getallen wordt dit laatste uiteen gezet voor met name leerlingen uit de onderbouw; aan de hand van concrete voorbeelden en m.b.v. de verzamelingen van natuurlijke getallen tot en met reële getallen.


Definitie, omschrijving van "syncope" en "syncopatisch"
When you talk about mag instead of magazine, fab when you mean fabulous, or cred for credibility, you are committing apocope . Perhaps it’s our rush-hurry-urgent age, but it seems that such energetic abbreviations are becoming more common, not merely with students who produce slangy in-terms such as psych, chem and maths (math in the US).
Apocope comes from the Greek word "apokoptein", to cut off, made up of apo-, from or away, plus koptein, to cut. Spelling abbreviations like huntin’ or singin’ are NOT apocopic, because the missing last letter indicates that the final sound of the word has changed, not that it has been lost.
Incidentally, if you instead cut the sound off the start of a word, the right name is aphesis (an example being squire, an aphetic form of esquire); if you drop sounds in the middle (for which the classic-and extreme-example is fo’c’s’le for the crews’ quarters on board ship, in full forecastle), the process is called syncope.
SOURCE:
http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-apo1.htm


BRONNEN:

Door Shishir Thadani gebruikte literatuur:

Door David E. Joyce gebruikte literatuur: