Return: Wiskunde
Home Page: http://wiskunde.wjsn.nl

Herleiden van produkten

 

§ 1     Som en produkt

 

A          Om de oppervlakte van een voetbalveld van 100 bij 70 meter te berekenen, moet je de lengte en de breedte vermenigvuldigen. Oppervlakte = 100 x 70 m2 = 7000 m2.

De getallen 100 en 70 zijn de factoren van het produkt 100 · 70.

Om de omtrek te vinden moet je (in gedachten) het veld rondlopen en nagaan hoeveel meter je dan hebt afgelegd. Omtrek = 100 m + 70 m + 100 m + 70 m = 340 m.

De getallen 100, 70, 100 en 70 zijn de termen van de som 100 + 70 + 100 + 70.

 

B          Bij het optellen van twee getallen spreken we over de som van twee termen. Zo is 2a + 3b de som van de termen 2a en 3b.

Bij het vermenigvuldigen van twee getallen spreken we over het produkt van twee factoren. 

Zo is 5a het produkt van de factoren 5 en a.

 

Nog een paar voorbeelden.

4a + b               is de som van de termen 4a en b

2a + 3b + 5c             is de som van de termen 2a en 3b en 5c

ab                     is het produkt van de factoren a en b

3(a + b)             is het produkt van de factoren 3 en (a + b)

2a(b - 3)             is het produkt van de factoren 2 en a en (b - 3)

 

3(a + b) betekent 3 · (a + b). De punt wordt meestal weggelaten.

 

C          6a + 13 is de som van de twee termen 6a  en 13. We noemen 6a + 13 daarom wel een tweeterm.

Ook een verschil van twee getallen zoals a  –  4 noemen we een tweeterm.  Je kunt a - 4 namelijk ook schrijven als de som  a + - 4. Hiervan zijn de termen a en - 4. Zo is 3a - 4b - 5 een drieterm met de termen 3a en  - 4b en – 5. Er zijn ook viertermen. vijftermen. enzovoort.

 

1 Hieronder staan zes vormen.  Zeg van elke vorm of het een produkt of een tweeterm of een drieterm is.

a.         x – y + z                      b.             p2 + 2p + 6                      c.             3abc

d.         2a - 3                            e.             2a(b - 2)                        f.             2a + b - 2

 

2 Van de drieterm 4x2 - 2x - 3 zijn de termen 4x2 en - 2x en -3

Noem de termen van

a.         x – y + z                      b.             p2 –3p – q2                     c.             - 2a2 + 5a - 7

d.         3ab - 25ac                 e.             m3 - 20                          f.             a2 + b2

 

3 De drieterm  2a + 3b + 5a  is te schrijven als een tweeterm. Immers.  2a + 3b + 5a = 7a + 3b.

Herleid tot een tweeterm

a.         4a + 3a - 5b + 2b                       b.             6pq - 3 + pq - 5   

c.         5ab- 2a - 3ab + 4a                     d.             3a2 - 4a + 5a – a2

 

4 Kijk nog eens naar het voorbeeld van het voetbalveld. Ria rekent de omtrek zo uit: 2(100 + 70)

Jan rekent de omtrek zo uit: 2 · 100 + 2 · 70. Wie doet het goed ?

 

§ 2        De verdeeleigenschap

 

A          Hoe reken je 7 · 52 uit ? Je doet eerst 7 · 50, daarna 7 · 2 en tenslotte tel je de uitkomsten

350 en 14 op.  Zo vind je 7 · 52 = 364.

Met haakjes kunnen we dit zo opschrijven: 7 · 52 =  7(50 + 2) =  7 · 50 + 7 · 2 = 350 + 14 = 364

Evenzo is  5 · 43 = 5(40 + 3) = 5 · 40 + 5 · 3. Met letters gaat het net zo.

Bijvoorbeeld 5(a + b) = 5 · a + 5 · b  ofwel zonder punten: 5(a + b) = 5a + 5b.

Je hebt het produkt 5(a + b) herleid tot de som 5a + 5b.

 

B          a(p + q) = ap + aq

Je maakt van het produkt a(p + q) de som  ap + aq.

Dit noemen we de verdeeleigenschap of de distributieve eigenschap.

Met de verdeeleigenschap kun je haakjes wegwerken.

 

Voorbeelden

3(2a + 5b) = 6a + 15b                p(p + 10) = p2 + 10p

2a(b + 3) = 2ab + 6a                  ½(2x + y) = x + ½y

 

5 Werk de haakjes weg.

a.         3(a + b)                         b.              ½(p + 20)                    c.              p(x + y)            

d.         3c(a + b)                     e.              a(2b + c)                       f.              1½(6a + 4b)       

g.         x(x + b)                         h.              2p(p + 3)                     i.              x(2x + 3y)   

j.          3a(2a + b)                     k.              a(½ + 2b)                    l.              2ab(4a + 3b)

 

C          De verdeeleigenschap geldt ook als er mintekens vσσr de haakjes of tussen de haakjes staan.

Voorbeelden

- 3(p+q) = - 3p - 3q                                 - ½(- 2a + 4) = a – 2

2a(b - 3) = 2ab - 6a                                 - 4b(2b - 6) = - 8b2 + 24b

 

6 Werk de haakjes weg.

a.         2b(2a – 5c)                    b.             - 2p(3p - ½q)                   c.             - 3(2q + r)

d.         - 3x(5x - y)                     e.             - p(10p + 5)                  f.             - 1(3a - 2b)

 

7 De verdeeleigenschap geldt ook als er tussen de haakjes een drieterm, een vierterm. enz. staat.

Werk de haakjes weg.

a.         4(a + b + c)                  b.             a(a - b - c)                           c.             - 2(3a - b + c)

d.         3p(x - y + z)                  e.             2a(3a - 2b + c)              f.             - 5(- x - y + 2)

 

D             Hierboven heb je steeds een getal vermenigvuldigd met -1. De uitkomst is dan het tegenover-gestelde van dat getal. Bijvoorbeeld  – 1 · 40 = - 40  en – 1 · x = - x.

Het tegengestelde van een getal kun je dus vinden door dat getal met - 1 vermenigvuldigen.

Zo is - a - b het tegengestelde van a + b, want - (a + b) = -1 (a + b) = - a - b.

 

- (a + b) = -a - b

Voorbeelden

- (2a - 3) = - 2a + 3                   want - 1(2a - 3) = - 2a + 3

- (- a2 + 5a) = a2 - 5a                   want - 1(- a2 + 5a) = a2 - 5a

 

8 Herleid

a.         2a - 3(a + b)                  b.             - 3(2a - b) + 6a + 3b

c.         5p - (5p - 2q)                  d.             - 2x + 3y - (- 4x - y)

 

9 Herleid

a.         2(a + b) - (a - 2b)            b.             3(2p - q) - (p + 3q)

c.         - (a - b) - 2(3a + 4b)                 d.             2(- 3q + p) - (5p + 2q)

 

10 Herleid

a.         - (a + b) + 5(2a + b)             b.             8(x2 - 2) - (3x + 2)

c.         2(3p - 2q) -7(p + q)             d.             - (- y2 + y) - 4y(2y -5)

 

E          Hoe werk je in (a + b) · 3 de haakjes weg?

Volgens de wisseleigenschap is (a + b) · 3 = 3(a + b) = 3a + 3b.

Zo is (2a - b) · 5 = 1Oa - 5b en (- p2 + q) · p = - p3 + pq.

 

11 Werk de haakjes weg.

a.         (a + b) · p                      b.            (- 2b - c) · 3a               c.             (2x2 - 8) · 4

d.         (- a + 3b) · 2               e.            (- a + 3) · 2a                   f.             (- p + 5) · - 6p

 

§ 3      Het produkt van twee tweetermen

Van een rechthoek PQRS is de lengte a + b en de breedte c + d. De oppervlakte is dus (a + b)(c + d). Deze rechthoek is in vier rechthoeken verdeeld. De oppervlakten van deze vier rechthoeken zijn: ac, ad, bc en bd. De oppervlakte van rechthoek PQRS is dus ook ac + ad + bc + bd.

 

Uit het voorgaande volgt

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

 

(a + b)(c + d) is een produkt van twee factoren. De eerste factor is de tweeterm a + b. De tweede factor is de tweeterm c + d. Je moet elke term van de eerste factor vermenigvuldigen met elke term van de tweede factor.

De termen van de uitkomst zetten en we in alfabetische volgorde. net als de woorden in een woordenboek. Daarom staat ac voor ad. Zo staat a2 vσσr ab, want a2 betekent aa [ = a · a ].

In de formule is een produkt herleid tot een vierterm. Soms kan zo'n vierterm nog verder herleid worden tot een drieterm.

 

Voorbeelden

(a + 2)(b + 3) = ab + 3a + 2b + 6

(2a + 3b)(3a + 4c) = 6a2 + 8ac + 9ab + 12bc = 6a2 + 9ab + 8ac + 12bc

(p + 2)(p + 4) = p2 + 4p + 2p + 8 = p2 + 6p + 8

(a + 3)(5a + 1) = 5a2 + a + 15a + 3 = 5a2 + 16a + 3

 

12 Herleid

a.         (a + p)(b + q)                                    b.             (a + b)(x + y)

c.         (p + 1)(q + 1)                                    d.              (x + 3)(y + 5)

 

13 Herleid

a.         (2a + 1)(3b + 2)                                  b.             (3p + 4)(q + 7)

c.         (a + 2b)(5a + c)                                d.             (2x + y)(7x + 3z)

e.         (a + 3)(a + 4)                                    f.             (x + 2)(x + 1)