Terug naar Wiskunde
...


Hoeken: Tangens, Sinus en Cosinus
Bij de bespreking van Hellingshoeken werd een voorbeeld gebruikt van een auto, die op een heuvel of een berg rijdt. Aangegeven werd, dat je daarbij de verticale afstand - de hoogte - moet delen door de horizontale afstand. Zo kreeg je een percentage van bijvoorbeeld 10 procent. Op die manier kun je aangeven hoe groot een hoek is. In de wiskunde is daar ook nog een andere maatstaf voor:
tangens . Er worden bij de "tangens" geen procenten gebruikt, maar getallen (= waarden). Die waarden vind je door het verticale stuk te delen door het horizontale stuk. De grootte van hoeken kun je nu dus aangeven met: hellingshoeken in procenten (1) , graden (2) en met de maatstaf "tangens".
Als je niet stijgt, dan is de hoogte 0. De waarde van de tangens is dan ook 0. Als je stijgt onder een hoek van 45°, dan is het horizontale stuk even groot als het verticale stuk (de hoogte). De waarde van de tangens is dan 1 (immers: een getal gedeeld door hetzelfde getal = 1). Als je minder stijgt dan 45°, dan zit de waarde van de tangens tussen de 0 en de 1. Op een erg steile helling van meer dan 45°, is de tangens groter dan 1. Kijk verder naar het overzicht hieronder voor de
waarden van de tangens voor alle hoeken vanaf 0° tot en met 90°.
N.B. Extra informatie over de andere twee maatstaven - de "sinus" en de "cosinus" - staat onder het overzicht inclusief de bekende grafiek van de sinus.

Graden tangens sinus cosinus
0,000000 0,000000 1,000000
0,017455 0,017452 0,999848
0,034921 0,034900 0,999391
0,052408 0,052336 0,998630
0,069927 0,069757 0,997564
0,087489 0,087156 0,996195
0,105104 0,104528 0,994522
0,122785 0,121870 0,992546
0,140541 0,139173 0,990268
0,158384 0,156434 0,987688
10° 0,176327 0,173648 0,984808
11° 0,194380 0,190809 0,981627
12° 0,212557 0,207912 0,978148
13° 0,230868 0,224951 0,974370
14° 0,249328 0,241922 0,970296
15° 0,267949 0,258819 0,965926
16° 0,286745 0,275637 0,961262
17° 0,305731 0,292372 0,956305
18° 0,324920 0,309017 0,951056
19° 0,344328 0,325568 0,945518
20° 0,363970 0,342020 0,939693
21° 0,383864 0,358368 0,933580
22° 0,404026 0,374606 0,927184
23° 0,424475 0,390731 0,920505
24° 0,445229 0,406737 0,913545
25° 0,466308 0,422619 0,906308
26° 0,487733 0,438371 0,898794
27° 0,509525 0,453990 0,891007
28° 0,531709 0,469471 0,882948
29° 0,554309 0,484810 0,874620
30° 0,577350 0,500000 0,866026
31° 0,600861 0,515038 0,857167
32° 0,624869 0,529919 0,848048
33° 0,649408 0,544639 0,838670
34° 0,674509 0,559193 0,829037
35° 0,700208 0,573577 0,819152
36° 0,726543 0,587786 0,809017
37° 0,753554 0,601815 0,798636
38° 0,781286 0,615662 0,788011
39° 0,809784 0,629320 0,777146
40° 0,839100 0,642788 0,766044
41° 0,869287 0,656059 0,754709
42° 0,900404 0,669131 0,743145
43° 0,932515 0,681998 0,731354
44° 0,965689 0,694658 0,719340
45° 1,000000 0,707107 0,707107
Graden tangens sinus cosinus
45° 1,000000 0,707107 0,707107
46° 1,035530 0,719340 0,694658
47° 1,072369 0,731354 0,681998
48° 1,110613 0,743145 0,669130
49° 1,150368 0,754709 0,656059
50° 1,191754 0,766045 0,642787
51° 1,234897 0,777146 0,629320
52° 1,279942 0,788011 0,615661
53° 1,327045 0,798636 0,601815
54° 1,376382 0,809017 0,587785
55° 1,428148 0,819152 0,573576
56° 1,482561 0,829038 0,559193
57° 1,539865 0,838671 0,544639
58° 1,600335 0,848048 0,529919
59° 1,664280 0,857167 0,515038
60° 1,732051 0,866025 0,500000
61° 1,804048 0,874620 0,484810
62° 1,880726 0,882948 0,469472
63° 1,962611 0,891007 0,453990
64° 2,050304 0,898794 0,438371
65° 2,144507 0,906308 0,422618
66° 2,246037 0,913545 0,406737
67° 2,355852 0,920505 0,390731
68° 2,475087 0,927184 0,374607
69° 2,605089 0,933580 0,358368
70° 2,747477 0,939693 0,342020
71° 2,904211 0,945519 0,325568
72° 3,077684 0,951057 0,309017
73° 3,270853 0,956305 0,292372
74° 3,487414 0,961262 0,275637
75° 3,732051 0,965926 0,258819
76° 4,010781 0,970296 0,241922
77° 4,331476 0,974370 0,224951
78° 4,704630 0,978148 0,207912
79° 5,144554 0,981627 0,190809
80° 5,671282 0,984808 0,173648
81° 6,313752 0,987688 0,156434
82° 7,115370 0,990268 0,139173
83° 8,144346 0,992546 0,121869
84° 9,514364 0,994522 0,104528
85° 11,430052 0,996195 0,087156
86° 14,300666 0,997564 0,069756
87° 19,081136 0,998630 0,052336
88° 28,636253 0,999391 0,034899
89° 57,289961 0,999848 0,017452
90° ¥ 1,000000 0,000000

Hiernaast staat driehoek ABC. Hoek A = Hoek C = 45°. De Ď ABC is gelijkbenig: AB is even lang als BC. De tangens van hoek A wordt berekend als volgt: BC gedeeld door AB. De uitkomst is 1. En dus geldt: tangens Ð A = tangens Ð 45° = 1.
LET OP: je kunt de tangens van een hoek altijd berekenen in een rechthoekige driehoek. Heb je geen rechthoekige driehoek, dan moet je dus eerst zelf een rechte hoek maken binnen die driehoek (= door ergens een loodlijn te trekken).
NOTA BENE: Je kunt ook de tangens van b.v. hoe C berekenen. Draai de figuur hiernaast over een hoek van 90° naar rechts. De tangens van hoek C is nu: AB gedeeld door BC.
Omdat niet elke driehoek gelijkbenig is EN omdat je soms de lengte van bijvoorbeeld AB of BC niet weet, heeft men iets anders verzonnen. Als je de lengte van AB NIET weet en die van BC en AC wel, dan kun je de "sinus" gebruiken.

De afspraak is: sinus hoek A = BC gedeeld door AC. Als je de lengte van BC NIET weet en die van AB en AC wel, dan kun je de "cosinus" gebruiken. De afspraak is: cosinus hoek A = AB gedeeld door AC. Welke waarden de "sinus" en de "cosinus" hebben voor b.v. hoeken van 10 graden, 20 graden, etc.., dat blijkt uit bovenstaand overzicht. Een veel gebruikte weergave van de grafiek van de sinus staat hiernaast. De grafieken van de sinus, cosinus en tangens staan op deze pagina .