Terug naar: Wiskunde
Home Page: http://wiskunde.wjsn.nl

Steeds 180 graden meer: Eenhoeken, Tweehoeken, Driehoeken, Vierhoeken, etc.

Als je alle hoeken in een vijf- of zeshoek optelt, waar kom je dan op uit? Hieronder wordt uitgelegd met behulp van tekeningen hoe dat zit. Zodra je dat begrijpt kun je - zonder te meten - uitrekenen hoe groot de hoeken zijn van alle regelmatige veelhoeken .
Gestart wordt met lijnen of eigenlijk lijnstukken. Je kunt het zelf uitproberen door stukjes elastiek te gebruiken en punaises. De punaises zet je op de plaats van de rode (hoek)punten. De elastiekjes stellen dan de lijnstukken voor.
De lijnen gaan over in een driehoek, de driehoek verandert in een vierhoek, enzovoorts. Bij elke verandering komt er een gestrekte hoek bij. Dat wordt duidelijk gemaakt in de tekeningen. Als je de moeite neemt om alles goed uit te zoeken, dan kom je op leerniveau 4 uit van de zgn. KOBTAS Niveaus .

DEEL 1: Lijnstuk en De Eenhoek

Eerste lijnstuk AB. Er zijn géén hoeken.

Tweede lijnstuk AC. Er zijn géén hoeken.

Derde lijnstuk CB. Er zijn géén hoeken.

Drie lijnstukken worden over elkaar heen gelegd. Er één hoek: ∠C = 180º. Dit lijnstuk zou je een eenhoek kunnen noemen.

Ook onderstaande figuur zou je een eenhoek kunnen noemen.

DEEL 2: De Tweehoek (het oog)

Dit is wat sommige mensen omschrijven als een tweehoek.

DEEL 3: De Driehoek

Lijnstuk of Driehoek? ∠A = ∠B = 0º en ∠C = 180º. De drie hoeken samen zijn dus 180º.

Tweede driehoek ABC. ∠A en ∠B zijn iets groter dan 2º en ∠C is iets kleiner dan 180º.

Vierde driehoek ABC.

Zesde driehoek ABC. ∠A en ∠B naderen de 45º en ∠C komt in de buurt van de 90º

Zevende driehoek ABC. ∠A = ∠B = 45º en ∠C = 90º. De drie hoeken samen zijn en blijven dus steeds 180º.

DEEL 4: De Vierhoek

Eerste vierhoek ABCD. ∠A = ∠C = 45º, ∠D = 90º en ∠B = 180º. De vier hoeken samen zijn dus 360º.

Tweede vierhoek ABCD. ∠A en ∠B zijn iets groter dan 45º en ∠B is iets kleiner dan 180º.

Zesde vierhoek ABCD. ∠A, ∠B en ∠C naderen de 90º

Zevende vierhoek ABCD. ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90º. De vier hoeken samen zijn en blijven dus steeds dus 360º.

DEEL 5: De Vijfhoek

Eerste vijfhoek ABCDE. ∠A = ∠C = ∠D = ∠E = 90º en ∠B = 180º. De vijf hoeken samen zijn dus 540º.

Tweede vijfhoek ABCDE. ∠A en ∠C zijn duidelijk groter dan 90º en ∠B is een stuk kleiner kleiner dan 180º.

Derde vijfhoek ABCDE. ∠A en ∠C zijn nu 90º + 45º = 135º groot. ∠B = ∠E = ∠D = 90º. De vijf hoeken samen zijn dus nog steeds 540º.

DEEL 6: De Zeshoek, Zevenhoek, enz.

De eerste zeshoek die je nu zelf zou kunnen verzinnen, ziet er net zo uit als bovenstaande vijfhoek.
Het verschil is, dat er nu ergens een letter F komt te staan - b.v. tussen de E en de D. Die ∠F is dan weer 180º groot. De zes hoeken zijn dus samen 720º.
Bij een zevenhoek is dat weer 180 graden meer: dus kom je uit op 900º, bij de achthoek is dat 1080º, etc., etc..