Home Page: http://wiskunde.wjsn.nl

Machten
In plaats van 2∙2∙2∙2∙ schrijven we: 24. Zo is 3∙3∙3∙3∙3 = 35 en 10∙10∙10∙10∙10∙10= 106. Een vorm zoals 24, 35 en 106 noemen we een macht. We noemen 35 de vijfde macht van 3; spreek uit als: drie-tot-de-vijfde. In 35 heet 3 het grondtal en 5 de exponent. Het berekenen van een macht heet machtsverheffen. De uitkomst van 35 is 243, want 3∙3∙3∙3∙3 = 243.
A .... Een macht is een product van een aantal gelijke factoren

Voorbeelden:

1).. 34 = 3∙3∙3∙3 = 81 2).. 24 = 2∙2∙2∙2 = 16 3).. 103 = 10∙10∙10 = 1000

Opgave 1: vul je antwoorden hieronder in - waar de puntjes staan

a) .. 103 betekent ....
b)
.. 103 spreek je uit als ....
c)
.. het grondtal van 103 is ....
d) .. de exponent van 103 is ....
e)
.. de uitkomst van 103 is ....
f)
.. herhaal nu a t/m e voor 34
Opgave 2: Bereken de opgaven hieronder Opgave 3: schrijf onderstaande producten op als één macht en bereken ook de uitkomst
a) .. 23
b)
.. 32
c)
.. 43
d)
.. 24
e) .. 25
f)
.. 33
g) 26
h) 27
i) 53
j) 82
k) 92
l) 106
a) .. 6∙6∙6
b)
.. 12∙12
c)
.. 1∙1∙1∙1
d)
.. 0∙0∙0∙0∙0
Opgave 4: vul hieronder in Let op de verschillen
a) .. 23 = 2∙2∙2 = ....
b)
.. (-2)3 = .. .. .. = ....
c)
.. (-2)4 = .. .. .. = ....
d)
.. 33 = .. .. .. = ....
e)
.. (-3)3 = .. .. .. = ....
voorbeeld: (-2)4 = -2∙-2∙-2∙-2 = 16
maar -24 = -2∙2∙2∙2 = -16
andere voorbeelden:
4)
.. (-3)2 = (-3)∙(-3) = 9
5)
.. -32 = -3∙3 = -9

B .... Product van twee machten (vermenigvuldigen)
Twee machten die hetzelfde grondtal hebben, kun je vermenigvuldigen

Voorbeelden:
6)
.. 102∙103 = 10∙10 (2 factoren ) maal 10∙10∙10 (3 factoren) = 10∙10∙10∙10∙10 = 105
7)
.. a2∙a4 = a∙a (2 factoren) maal a∙a∙a∙a (4 factoren) = a∙a∙a∙a∙a∙a = a6

Dus: de exponent 5 in 105 krijg je door de exponenten 2 en 3 op te tellen en de exponent 6 in a6 krijg je door de exponenten 2 en 4 op te tellen
voorbeeld 6 kun je ook berekenen: 102∙103 = 100∙1000 = 100000 (= 105)
In het ander voorbeeld [ voorbeeld 7 ] kan dat niet. Het gaat zo: a2∙a4 = a2 + 4 = a6
REGEL 1: bij het vermenigvuldigen van twee machten, die hetzelfde grondtal hebben, moet je de exponenten optellen

Voorbeelden :
8)
.. 35∙34 = 39 ..... 9).. 211∙25 = 216 ..... 10).. p30∙p3 = p33 ..... 11).. a1∙a9 = a10

Opgave 5: Schrijf als één macht (machten van 10 en 5 niet uitrekenen !)
a)
.. a9∙a4 ..... b) .. 102∙1030 ..... c) .. p5∙p3 ..... d) .. 52∙57

Let op: c3 is het product van 3 factoren c; b2 is het product van 2 factoren b; a1 is geen product, want je kunt niet spreken van het product van 1 factor; dus a1 uit voorbeeld 11 is eigenlijk geen macht. Maar we spreken af dat we met a1 gewoon a bedoelen.
Onthoud daarom: a1 = a (en dus ook: 71 = 7 en bijvoorbeeld 101 = 10, etc.)

C .... Quotiënt van twee machten (delen)

Twee machten die hetzelfde grondtal hebben, kun je ook op elkaar delen
Voorbeeld: 106 : 102 = 10∙10∙10∙10∙10∙10 (6 factoren) gedeeld door 10∙10 (2 factoren) is gelijk aan: 10∙10∙10∙10 (4 factoren)
De berekening die hierbij hoort is: 106 : 102 = 1000000 : 100 = 10000 (= 104)
De exponent 4 in 104 krijg je door de exponenten 6 en 2 van elkaar af te trekken. Daarom geldt: 106 : 102 = 106 - 2 = 104 en bijvoorbeeld ook: p10 : p8 = p10 - 8 = p2
REGEL 2: bij het op elkaar delen van twee machten, die hetzelfde grondtal hebben, moet je de exponenten aftrekken.

Voorbeelden :
12)
.. 3 7 : 34 = 33 ..... 13).. 211 : 25 = 26 ..... 14).. p13 : p3 = p10 ..... 15).. a19 : a8 = a11

Opgave 6: : herleid
a)
.. a7 : a2 ..... b) .. 79 : 73 ..... c) .. p5 : p3

Opgave 7: : herleid en bereken ook de uitkomst
a)
.. 87 : 85 ..... b) .. 73 : 72 ..... c) .. 45 : 43
d)
.. 97 : 96 ..... e) .. 54 : 52 ..... f) .. 87 : 87

Als je een getal deelt door zichzelf, dan krijg je als uitkomst altijd 1. Vanzelfsprekend is dat ook zo als je (dezelfde) .. machten op elkaar deelt; en dus:
REGEL 3: delen van twee machten, die hetzelfde grondtal hebben en dezelfde exponent levert als uitkomst 1 op

Voorbeelden :
16)
.. 106 : 106 = 1 ..... 17).. a19 : a19 = 1 ..... 18).. p103 : p103 = 1

D .... De macht van een macht

We noemen 102 een macht en we noemen (102)3 een macht van een macht. (102)3 betekent: 102∙102∙102 en dat zijn dus 6 factoren. De berekening die erbij hoort is: (102)3= 1003 = 100∙100∙100 = 1000000 (= 106).
Dus: (102)3 = 102∙3 = 106 maar ook bijvoorbeeld: (p5)3 = p5∙3 = p15.
Bij de laatste zien we tussen haakjes staan: het product van 5 factoren p en dat kun je schrijven als: p∙p∙p∙p∙p (5 factoren); daarvan de derde macht nemen levert dus 15 factoren op; te schrijven als:
p∙p∙p∙p∙p∙p∙p∙p∙p∙p∙p∙p∙p∙p∙p
REGEL 4: bij het machtsverheffen van een macht, moet je de exponenten met elkaar vermenigvuldigen

Opgave 8: schrijf over en vul in
a)
.. (53)5 = 5.. ..... b) .. (55)3 = 5.. ..... c) .. (x9)4 = x..
d)
.. (95)2 = 9.. ..... e) .. (96)7 = p.. ..... f) .. (q6)10 = q..