Return: Wiskunde
Home Page: http://wiskunde.wjsn.nl

De Geschiedenis van Getallen en Cijfers

Tellen, het Begin; Natuurlijke getallen en Wat kun je er mee en wat niet; Hoe schreef men vroeger cijfers en getallen; Negatieve Getallen in China; Gehele getallen; Breuken in het Oude Egypte, Decimale Breuken in China en Rationale Getallen; Het Getal "e", het Getal ∏ en andere Irrationale Getallen; Het getal "Nul"; Reële getallen; Het Indiase Gwalior Systeem en Hoe Europeanen ongeveer 1000 jaar geleden cijfers en getallen noteerden.


Tellen, het Begin: Cijfers en Getallen.
Mensen zijn ooit begonnen met de zgn. Natuurlijke Getallen. Dat zijn getallen als 1, 2, 3, 4, etc.. De laagste was 1 en de hoogste was 1000, 10000 of iets anders. Hieronder volgt eerst een voorbeeld van een dorp uit het verleden. Daar staat ook een onderzoeksverslag bij van een vissersdorp, dan nu nog steeds bestaat, waar de mensen niet kunnen tellen.

Het dorp: Natuurlijke Getallen [ Symbool = ]
Er was eens een dorp met 20 inwoners, 6 huizen en 9 bomen. Twee inwoners hadden een paar schapen. Er was weinig te doen in het dorp en dus vertrok er soms iemand uit het dorp om de rest van de wereld te bekijken. Ook werd er zo af en toe een kind geboren in het dorp. Al eeuwen lang waren er zo in dit dorp een paar schapen, 9 bomen, 6 huizen en ongeveer 20 inwoners.
Soms was het nodig om te tellen bijvoorbeeld als een van de schapen weg was. Getallen met drie cijfers kenden de inwoners niet. Eigenlijk konden ze alleen maar rekenen met getallen onder de 100. Daar hadden ze ook symbolen voor - dat noemen we cijfers - maar meestal maar 2. De Maya's uit Zuid Amerika bijvoorbeeld gebruikten een klein rondje als symbool voor "1" en twee rondjes als symbool voor de 2. Dus: o, oo, ooo, oooo etc.. Een ander voorbeeld: |, ||, |||, |||| etc. (uit het Oude Egypte, China en Babylon). Hoe ze dat precies schreven, kun je zien op de site Getallen van de Wereld . Getallen, die groter waren dan 100, kwamen in het dorp niet voor. De slimste inwoners van het dorp konden optellen maar ook herhaald optellen, dat ze pas veel later vermenigvuldigen zou gaan heten.
De inwoners hadden nog geen schrijftaal en dat wil zeggen dat ze geen karakters of symbolen hadden, waarmee ze iets op konden schrijven. Ze hadden wel schapen maar konden het woord voor "schaap" niet opschrijven. Wij zouden zeggen "ze hadden geen schrijfletters". Het eerste wat ze nu gingen doen was cijfers gebruiken voor het "tellen".
Eerst ontstonden de symbolen voor cijfers - pas daarna de schrijftaal
Ruim 8000 jaar geleden bestond er nog geen geschreven taal: er bestonden geen geschreven letters, woorden of zinnen, maar wel iets vergelijkbaars. Er bestonden al notaties voor cijfers; het bekendste voorbeeld is het Ishango Bot , dat werd gevonden in Afrika. Zie verder de site: Geschiedenis van de Wiskunde .
Sommige volken hebben ook nu nog geen symbolen voor cijfers
Inwoners van andere dorpen, die erg geisoleerd waren, deden dit niet. Ze wisten niets van de "uitvinding" uit in "ons dorp". Ze konden helemaal niet tellen en hadden er dus ook geen symbolen voor (ze hadden geen cijfers). Kort geleden nog werd zo'n dorp bezocht door de onderzoeker Everett. Een mooi verslag van zo'n dorp waar mensen wonen, die niet tot EEN kunnen tellen staat op de site Tellen bij primitieve volkeren .
Ook in Europa werden 1000 jaar geleden vaak geen symbolen voor cijfers gebruikt . De bewijzen hiervoor vind je onderaan deze pagina!

Wat is mogelijk met natuurlijke getallen en wat niet?
Het verhaal van het dorp is een voorbeeld van het gebruik van Natuurlijke Getallen met een bovengrens van 99. Als je alleen maar Natuurlijke getallen hebt met symbolen, die daar bij horen, dan kun je niet alles uitrekenen. Dat geldt bijvoorbeeld voor verschillen. We geven drie voorbeelden:

  1. 10 - 3 = 7 met een uitkomst (7) dat een gewoon natuurlijke getal is
  2. 12 - 12 = ??? met een onbekende uitkomst, waar geen symbool voor is
  3. 33 - 44 = ??? met een onbekende uitkomst, waar eveneens geen symbool voor bestaat

Andere getallen: de Gehele Getallen [ Symbool = ]
Men ging daarom al gauw geen Natuurlijke Getallen meer gebruiken, maar Gehele Getallen. De groep van natuurlijke getallen werd verdubbeld door eraan toe te voegen de "negatieve getallen": -1, -2, -3, -4, etc.. (In China ging men in 100 voor Christus voor het eerst negatieve getallen gebruiken). Voor meer informatie kun je terecht op de site Geschiedenis van de Wiskunde . De Chinezen gingen kleuren gebruiken om aan te geven dat getallen positief of negatief waren. Later zou men in andere landen hiervoor symbolen gaan gebruiken. De mensen in het dorp hadden dus genoeg aan hun symbolen, waarmee ze hun cijfers en getallen konden opschrijven en nog een extra symbool om aan te geven of de getallen negatief waren. Het blijkt dus dat je niet genoeg hebt aan symbolen voor getallen. Als je een maal met tellen en rekenen begint, dan heb je steeds meer symbolen nodig. In de wiskunde zijn er heel wat symbolen: voor plus, min, even groot als, groter dan, enzovoort. Een grote lijst met wiskundige symbolen, kun je hier , maar ook hier bekijken.
Er waren nu dus wel twee keer zoveel getallen, waarmee mensen konden vermenigvuldigen, verschillen berekenen en getallen optellen. Later bleek dat er toch nog problemen waren als je bepaalde getallen op elkaar deelde. Ook het ontbreken van "het cijfer 0" bleef een probleem. Hieronder worden vier voorbeelden gegeven:

  1. 35 : 7 = 5, geen probleem (de uitkomst "5" is ook een gewoon geheel getal)
  2. 24 : 3 = 8 levert ook geen enkel probleem op
  3. 15 : 2 = ??? levert een onbekende uitkomst op, waarvoor geen symbool of getal bestaat
  4. 12 - 12 = ??? met een logische maar wel "gekke" uitkomst; er was geen symbool voor

Nog meer getallen: de Rationale Getallen [ Symbool = ]
In ieder geval voor het delen moest er dus toch nog een extra uitbreiding komen. De groep van "gehele getallen" bleek te beperkt te zijn. De uitkomst uit voorbeeld 3 [ dat is 7,5 ] maar ook de rest van de breuken werden toegevoegd. Men vond ook een manier om het op te schrijven - en er kwamen dus symbolen voor. De Oude Egyptenaren zetten bijvoorbeeld boven de cijfers een plat streepje: hun symbool voor breuken. Een 2 met zo'n streep er boven betekende dus ½ en een 4 met een streep betekende ¼. Maar iets als drie-kwart kenden ze niet. Van alle breuken die ze opschreven was altijd de "teller" gelijk aan 1. Er kwam dus weer een symbool bij. Ze hadden genoeg aan dat ene extra symbool - het platte streepje - om alle breuken die ze kenden, te kunnen opschrijven.
De groep van getallen die nu was ontstaan noemt men tegenwoordig Rationale Getallen. Vergeleken met de groep van Gehele Getallen is de groep van Rationale Getallen een vreselijk grote groep. Als je Rationale Getallen gebruikt dan kun je: optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen. Alle uitkomsten die je dan vindt, zijn ook weer Rationale Getallen. Toen dat eenmaal duidelijk was, ging iedereen in het dorp deze "rationale getallen" gebruiken.
Later bleek toch, dat sommige "reken sommen" niet konden worden opgelost met Rationale Getallen. De inwoners van het dorp hadden al een heleboel getallen op elkaar gedeeld en elke keer, konden ze de uitkomst opschrijven als een "decimale breuk". Ze schreven dus niet op: ½, maar 0,5 en niet: ¼, maar 0,25. De "komma" was dus weer zo'n extra symbool, die er bij was gekomen. Ongeveer 2000 jaar geleden begon men in China deze zgn. decimale breuken te gebruiken.

De "gekke" breuk: irrationale getallen
Op een dag kwam een inwoner van ons dorp met een "gekke" breuk" aanzetten. Hij had een vierkante tegel gemaakt. De zijden waren alle vier precies 1 meter lang. Daarna had hij de tegel door midden gebroken en hij stond met 2 even grote driehoeken in zijn hand. Hij had de "schuine zijde" van een van de driehoek opgemeten. Die was ongeveer 1,41 meter lang. Hij had die dag toch niets te doen en ging op zoek naar de teller en de noemer, die bij deze "gekke breuk" hoorde. Hij begon met 7 gedeeld door 5, daarna 78 : 55 en 784 : 55, vervolgens probeerde hij 785 : 55, enz., enz.. Wat hij ook probeerde hij kon geen teller en noemer vinden bij deze "gekke breuk".
Later werden de uitkomsten, die de man uit het dorp zocht, irrationale getallen genoemd en dat betekent "niet rationaal". Een van de bekendste voorbeelden is het getal pi, dat men later is op gaan ging schrijven als: ∏. Ook het beroemde getal "e" is een voorbeeld van een irrationaal getal. De man uit het dorp was bezig met een irrationaal getal, dat we later "wortel 2" gingen noemen. Dat wordt opgeschreven als: √2. Opnieuw kun je hieraan zien, dat er steeds meer symbolen nodig waren. Voor die mensen die al een eigen alfabet hadden, waren er meestal geen letters genoeg. Er werden daarom steeds vaker letters van een ander alfabet gebruikt. Tegenwoordig gebruiken we behalve de ∏ ook vaak andere letters uit het Griekse alfabet .
In het verre India - ver van ons dorp vandaan - werden niet alleen negatieve getallen maar ook irrationele getallen gebruikt. Dat gebeurde vanaf ongeveer 500 na Christus. De bewoners van India hadden toen ook al een schrijftaal: ze hadden net als de Grieken in die tijd allerlei karakters om hun alfabet te kunnen opschrijven. Bovendien hadden ze aparte karakters om hun cijfers mee te kunnen opschrijven. MAAR wat het bijzonder maakte was het feit, dat ze maar 10 karakters gebruikten en dat ze daarmee elk getal konden opschrijven. Ze hadden symbolen voor de cijfers 1 t/m 10. De bewoners van het Oude Egypte en Babylon hadden er maar twee. Grote aantallen noteren was bijna niet te doen. Ook de Romeinen zaten met dit probleem. Een groot getal opschrijven was heel wat werk - ook al gebruikten de Romeinen wel meer dan twee symbolen voor hun cijfers en getallen (I, V, X, L, C en M).
De bewoners van India kozen voor het zgn. "positie-stelsel". Een 2 betekent alleen 2 als er niets achter staat. Een 2 betekent 20 als er nog een cijfer achter staat. Net zo betekent een "3" 300, als er achter de 3 nog twee cijfers staan. Het is dus zo, dat de "positie" van een cijfer aangeeft hoeveel dat cijfer "waard" is. Inmiddels gebruiken wij ook dit "positie-stelsel" afkomstig uit het Oude India.

Het "getal" nul en Reële Getallen [ Symbool = ]
Ongeveer 1300 jaar geleden maakten andere wetenschappers uit India het getal-systeem compleet. Zij gingen voor het eerst de "nul" gebruiken en verzonnen daar een symbool voor, dat nu vrijwel iedereen op de wereld ook gebruikt als nul, namelijk 0. Vanaf dat moment waren er dus karakters voor de cijfers 0, 1, 2 t/m 9 (= basis bouwstenen). Het getal 10 werd nu gemaakt door het cijfer 1 en het cijfer 0 te gebruiken. Dit getal-systeem ken je, omdat we het nu allemaal gebruiken. Daarna werd het aan de Chinezen voorgelegd, maar het werd niet overgenomen. De Arabieren en Perzen namen het wel over en zo zou het veel later uiteindelijk ook in Europa terechtkomen.
De mensen uit ons dorp - of tenminste de kinderen en kleinkinderen van de oude bewoners - konden nu alles berekenen, wat ze wilden. EN ze konden dat ook opschrijven. Ze hadden nu wel veel meer cijfers, getallen en symbolen dan aan het begin. Kijk maar eens wat een lijst dat nu geworden is:

Later ging men alle Rationale Getallen, De Nul plus de Irrationale getallen samen Reële Getallen noemen.

Cijfers gebruiken om getallen te noteren
Enkele eeuwen nadat men in India het nu overal bekende getalsysteem (Het Gwalior Systeem) had ontwikkeld, gingen ook Europeanen in hun eigen taal teksten schrijven. Je kunt denken aan de bekende Legende "Beatrijs" uit de 13e Eeuw en b.v. aan Karel ende Elegast uit de 12e eeuw. Vergelijkbare oude teksten + samenvattingen staan op de site Nederlands . In Engeland werd "Beowulf" geschreven, die je kunt vinden op de site over (Oud) Engels . Zie b.v. ook "Serments de Strasbourg" op de site (Oud) Frans en de nog oudere Duitse werken "Merseburger Zaubersprüche" en het "Hildebrandslied" op de site (Oud) Duits .
Wat opvalt is, dat je daar geen gewone cijfers zult tegen komen: geen enkele in de genoemde Oud Duitse en ook niet in de Oud Franse teksten. In het Engelse "Beowulf" kom je tegen: "four sons", "twelve winters", "champions ...fifteen together", "thirty men's strength", "seven nights", etc., maar nergens cijfers. In "Karel ende Elegast" kun je vinden: "vijfhonderd pont", "honderd scellen groot", maar ook "ter poorten LX man". In "Beatrijs" staat onder meer: "een wort oft twee", maar ook "heb binnen XIIIJ iaeren" en b.v. "daer si in was XIIIJ iaer". Hier zien we dus vooral tekst in plaats van cijfers (aantallen en getallen schreef men als woorden). Daarnaast werden soms Romeinse Cijfers gebruikt en dus niet de ons bekende cijfers als 1, 2, 3, etc.
Hieruit zou je kunnen afleiden, dat veel (of alle) schrijvers destijds niet of nauwelijks op de hoogte waren van de "uitvinding" in India. Dat is niet helemaal zeker wat betreft de 12e eeuw. Bekend is wel dat in de 10e eeuw niemand in Nederland en Vlaanderen op de hoogte was van het Gwalior Systeem [ plaatje staat hieronder ]. Als er al getallen en cijfers werden gebruikt in teksten, dan gebruikte men dus gewoon "woorden" OF Romeinse cijfers.