Formules, Tabellen en Grafieken.

1. Welke Formule hoort bij Welke Grafiek ?
Als je de vorige site hebt bekeken, dan weet je wat een assen-stelsel is en wat grafieken zijn. Rechts staat een grafiek. Om preciezer te zijn: het is een lijn-grafiek. De schuine [ rode ] lijn, die je ziet, bestaat uit een heleboel punten. Al die punten liggen op dezelfde rechte lijn en dus is er een soort "regelmaat". Om die regelmaat te ontdekken, kun je drie dingen doen. Ten eerste: de plaats van een paar punten op een wiskundige manier opschrijven [ zoals punt (0,1), punt (1,2), punt (2,3), etc. ]. Ten tweede: eerst een Tabel maken. Ten derde: de formule proberen te vinden, die bij de grafiek hoort.

Figuur 1

2. De Formules bij Grafieken.
De eerste manier is simpel. Kijk naar Figuur 2 met de volgende punten: (0,0), (1,1), (2,2). De rest kun je raden: de punten: (3,3), (4,4), (5,5), .. . Zo zie je direct WAT de regelmaat is: 1 stap naar rechts (horizontaal) en 1 stap naar boven (verticaal), 2 stappen naar rechts en 2 stappen naar boven, 3 stappen naar .... De tweede manier staat onderaan in Paragraaf 5. De derde manier is wat moeilijker. De formule die wiskundigen hiervoor gebruiken, schrijven ze op als: y = x. De x moet je zien als de "Invoer" bij woord-formules. De y is dan de "Uitvoer". DUS: voer een 0 in en er komt een 0 uit, voer een 1 in en er komt een 1 uit. Voor wiskundigen betekent dit: Als x = 0, dan is ook y = 0. Als x = 1, dan is y = 1, etc. etc.

Figuur 2

3. Andere Formules en Grafieken.
Kijk nu opnieuw naar de grafiek hiernaast - dezelfde als in Figuur 1. De formule die hierbij hoort is: y = x + 1. Bewijs 1 : Vervang de x door 0 (invoer). De y wordt dan: 0 + 1 = 1 (de uitvoer). Het punt dat je nu gevonden hebt, moet je opschrijven als: (0,1). Bewijs 2: Vervang de x (invoer) door 1. De y (uitvoer) wordt dan: 1 + 1 = 2. Het punt dat daarbij hoort is (1,2). Bewijs 3: Vervang de x door 2. De y wordt: 2 + 1 = 3. Het punt, dat je nu vindt is: punt (2,3).
DUS: vul een willekeurig getal in voor x en je vindt steeds een uitkomst (uitvoer), die 1 groter is. Daarom hoort de formule: y = x + 1 bij de grafiek uit Figuur 3.

Figuur 3

4. Een Tabel bij de Grafieken.
Hiernaast staat Figuur 4 - dezelfde als Figuur 2. De punten, die je eerder al had gevonden zijn: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), enzovoorts. Meestal zet men dit eerst in een Tabel. Die tabel ziet er dan zo uit:

invoer X 0 1 2 3 4 uitvoer Y 0 1 2 3 4

Je ziet nu dat de punten (0,0), (1,1), (2,2), e.d. ook in de tabel staan. Kijk hiervoor naar punt (2,2) en naar de getallen 2 en 2, die in de Tabel rood zijn gekleurd. DUS: goed naar een Tabel kijken en je weet HOE je de punten moet opschrijven!

Figuur 4

5. Eerst een Tabel maken - zonder formule.
Stel je voor dat je moet beginnen met de punten: (0,1), (1,2), (2,3), etc. [ Zie Figuur 5 ]. Maak dan eerst de onderstaande tabel. Start met het linker punt (0,1).

invoer X 0 1 2 3 4 uitvoer Y . . . . .

Het getal 0 van het punt (0,1) staat al in de tabel [ bovenaan ]. Het getal 1 van punt (0,1) niet. Die 1 zet je in de Tabel ONDER de 0. Op dezelfde manier zet je onder de 1 in de Tabel een 2 [ dat is punt (1,2), etc. ]. Dat doe je ook met alle andere punten. Zo maak je dus een Tabel ZONDER de formule !

Figuur 5

6. Begin met een Formule en maak daarna een Grafiek.
Stel je voor, dat je alleen maar te horen krijgt: de formule is y = - x + 3. Daarna wordt gevraagd om hier een grafiek van te maken. Start met het maken van een Tabel. Begin eenvoudig: vervang de x door 0, door 1, door 2, etc.. De "uitvoer", die je krijgt is dan: 3 en daarna 2, gevolgd door 1, etc.. De Tabel die daarbij hoort staat hieronder.

invoer X 0 1 2 3 uitvoer Y 3 2 1 0

De punten die je nu zou kunnen tekenen zijn dus: (0,3), (1,2), (2,1), etc. [ zie je de regelmaat ? ]. Teken een assenstelsel en zet daar deze punten in. Trek daarna een lijn DOOR die punten. Het resultaat is de grafiek in Figuur 6.

Figuur 6

7. Begin met een Grafiek en zoek de Formule.
Stel je voor, dat je alleen maar de Grafiek te zien krijgt [ zie Figuur 7 ]. Start met het opschrijven van de punten, die je herkent. Zet alle punten die je gevonden hebt in een Tabel. De Tabel, die je dan krijgt, staat hieronder.

invoer X 0 1 2 3 uitvoer Y 3 2 1 0

De formule zoeken is de volgende stap. Je kunt hiervoor 2 machientjes gebruiken, die horen bij een lijn-grafiek. In je boek staat onderstaand voorbeeld. Dat voorbeeld kun je gebruiken.

Figuur 7

8. De Formule zoeken: eerst het optel-machientje.
Je moet zoeken naar 1 vermenigvuldig-machientje [ die noemen we a ] en naar 1 optel-machientje [ die noemen we b ]. Het vermenigvuldig-machientje zet je uit, ALS je kiest voor 0 als Invoer. Dan blijft alleen het optel-machientje over. In de Tabel zie je dat bij Invoer = 0 een Uitvoer hoort van 3 [ je begint dus eigenlijk met punt (0,3) ]. Het optel-machientje telt dus overal 3 bij op. Dat machientje is dus: + 3. Daarom mag je vanaf nu uit gaan, van de volgende situatie:

Figuur 8

9. De Formule zoeken: vindt het vermenigvuldig-machientje.
Je moet nu op zoek gaan naar het vermenigvuldig-machientje. Begin met een punt, b.v. met punt (1,2) en kijk eerst alleen naar de "Uitvoer". De uitvoer = 2 en het optel-machientje was: + 3. Vlak voor het optel-machientje moet dus staan: - 1 want - 1 + 3 = 2. Kijk voor uitleg naar het plaatje hieronder.

Kijk opnieuw naar het punt (1,2) en kijk alleen naar de "Invoer". De invoer = 1 en je weet nu dat het vermenigvuldig-machientje daar - 1 van maakt [ kijk maar naar het plaatje hierboven ]. Dus het machientje, dat we zoeken, vermenigvuldigt alles met - 1.

Figuur 9

10. De Formule zoeken met behulp van de 2 machientjes.

De 2 machientjes [ a en b ] weten we nu: ze staan hierboven. Voor een lijn-grafiek moet je ALTIJD de volgende formule gebruiken: y = machientje1x + machientje2 en dat schrijven wiskundigen op als: y = ax + b. Machientje 1 noemen ze a en machientje 2 noemen ze b. Omdat we nu weten om WELKE machientjes het gaat, hebben we afkortingen a en b niet nodig. We schrijven de formule direct op als: y = - 1x + 3 OF nog korter als: y = - x + 3.

Figuur 10