Voorwoord
Geschiedenis: indeling van klassiek naar modern
In de geschiedenis van de algebra kan men onderscheid maken tussen A) de "Klassieke algebra" met: vergelijkingen oplossen of problemen als "Zoek de onbekende" en B) de "Abstracte algebra", ook aangeduid als "Moderne Algebra" met: de studie van groepen, ringen, e.d.. De klassieke algebra is ontwikkeld over een periode van 4000 jaar, terwijl de moderne algebra pas in de laatste 200 jaar op het toneel verscheen.

Er wordt in deze notitie een onderverdeling gehanteerd: 1. Egyptische Algebra, 2. Babylonische Algebra, 3. Griekse Geometrische Algebra, 4. Diophantische Algebra, 5. Hindoe Algebra, 6. Arabische Algebra, 7. Europese Algebra sinds 1500 en 8. Moderne Algebra. N.B. omdat de algebra uit de rekenkunde voortkomt, is vooral de invoering van "Nieuwe Getallen" oftewel nieuw ontdekte getallen (getal nul, irrationale, negatieve en complexe getallen) een belangrijk onderdeel van de geschiedenis.

Geschiedenis: de gefaseerde ontwikkeling van de notatie
De ontwikkeling van algebraïsche notaties ontwikkelde zich in drie fasen: A. de retorische of mondelinge fase, B. de syncopatische of syncopische fase, waarin afkortingen van woorden werden gebruikt (zie de noot onderaan) en C. de symbolische fase, waarin wiskundige symbolen werden gebruikt – de fase waarmee wij allen vertrouwd zijn.

Geschiedenis van de algebra: gebruikt bronmateriaal
Het hier gebruikte materiaal is afkomstig uit vele bronnen. Gebruikt werd het werk van Burton, "Wiskundige Ontwikkeling van oude tot moderne tijden" van Kline, "Geschiedenis van de Wiskunde" van Boyer en het essay van Baumgart over "De Geschiedenis van Algebra" in: Historical Topics for the Mathematics Classroom (31^e jaarboek van de N.C.T.M.).

1. Egyptische Algebra
Veel van onze kennis over de oude Egyptische wiskunde, met inbegrip van algebra, is gebaseerd op de Papyrus "Rhind". Die werd geschreven rond 1650 voor Christus en wordt geacht de Egyptische wiskunde van ongeveer 1850 (voor Christus) te vertegenwoordigen. De Egyptenaren waren in staat om problemen op te lossen, die vergelijkbaar zijn aan het oplossen van lineaire vergelijkingen met een onbekende. Hun methode was wat nu wordt genoemd de "Method of false position" (vergelijking oplossen door proberen, checken en opnieuw proberen en checken, etc.). De algebra van de oude Egyptenaren was retorisch – er werden geen (wiskundige) symbolen gebruikt. De problemen werden eenvoudigweg geponeerd en daarna mondeling opgelost. Er werden eenvoudige symbolen gebruikt voor het Egyptische getalsysteem [ voor: 1, 2, 3, ..., 10, 11, etc. ].
Zie o.a. voor de Papyrus "Rhind" (een foto) de site Wiskunde en de oude Egyptenaren

De Papyrus van Caïro van ongeveer 300 voor Christus wijst erop, dat tegen die tijd de Egyptenaren sommige problemen konden oplossen, die overeen kwamen met het oplossen van 2 tweede graadvergelijkingen met twee onbekenden. De Egyptische algebra werd helaas vertraagd en opgehouden door de wijze waarop breuken werden behandeld.

2. Babylonische Algebra
De wiskunde uit de Oude Babylonische Periode (1800 - 1600 voor Christus) was geavanceerder dan die van Egypte. Hun uitmuntend "Sexagesima" (getallen systeem) ........ leidde tot een hoogontwikkelde algebra, aldus Kline. Bekijk ook de symbolen die gebruikt werden voor het getalsysteem . Zij hadden algemene procedures voor het oplossen van vierkantsvergelijkingen, hoewel zij slechts één wortel (de positieve) als geldig beschouwden. In feite bezaten ze een formule voor vierkantsvergelijkingen. Zij behandelden ook het equivalent van systemen met twee vergelijkingen met twee onbekenden. Zij beschouwden sommige problemen met meer dan twee onbekenden gelijkwaardig aan het oplossen van hogere graads vergelijkingen.

Er werd gebruik gemaakt van (wiskundige) "symbolen", maar niet op grote schaal. Als bij de Egyptenaren was de algebra hoofdzakelijk retorisch. De procedures die werden gebruikt om problemen op te lossen werden onderwezen door voorbeelden te geven, maar verklaringen of bewijzen werden niet gegeven. Evenals de Egyptenaren zagen zij alleen positieve rationele getallen als geldig, hoewel zij ook benaderende oplossingen vonden voor problemen, die geen nauwkeurige rationale oplossing hadden.
Bekijk ook de informatieve site Wiskunde en de oude Babyloniers

3. Grieks Geometrische Algebra
De Grieken uit de Klassieke Periode, die het bestaan van irrationale getallen ontkenden (niet kenden), vermeden het probleem door uitkomsten te presenteren als geometrische vormen en eenheden. Diverse algebraïsche identiteiten en constructies die gelijkwaardig waren aan het oplossen van vierkantsvergelijkingen werden uitgedrukt en bewezen middels geometrische vormen. Qua inhoud gingen ze nauwelijks verder dan wat de Babyloniers hadden gedaan. Vanwege de vorm was de geometrische algebra van weinig praktische waarde. Deze benadering vertraagde de vooruitgang in de algebra voor verscheidene eeuwen. De belangrijkste prestatie lag in de toepassing van het redeneren via deductie en het beschrijven van algemene procedures.
Zie ook de informatieve site Wiskunde bij de oude Grieken

4. Diophantische Algebra
De Griekse wiskundige, Diophantus (250 na Christus), vertegenwoordigt het eindresultaat van een beweging onder de Grieken (Archimedes, Apollonius, Ptolemy, Heron, Nichomachus) vanaf de geometrische algebra tot aan een werkwijze, die onafhankelijk was van de meetkunde. Hij introduceerde de "Syncopatische" wijze van schrijven van vergelijkingen, hoewel zoals hieronder wordt vermeld - de retorische stijl in gebruik bleef voor vele daarop volgende eeuwen.

De bekendheid van Diophantus berust op zijn "Arithmetica", waarin hij onbepaalde vergelijkingen aan de orde stelt – gewoonlijk twee of meer vergelijkingen met verscheidene variabelen, die een oneindig aantal rationale oplossingen hebben. Dergelijke vergelijkingen zijn vandaag de dag bekend als "Diophantische Vergelijkingen". Hij hanteerde geen methodes van generalisatie. Elk van de 189 problemen in Arithmetica wordt opgelost met een andere, verschillende methode. Hij aanvaardde alleen positieve rationale wortels en negeerde alle andere. Zodra een vierkantsvergelijking twee positieve rationale wortels had, gaf hij slechts één als oplossing. Er was geen deductieve structuur in zijn werk aanwezig.

5. Algebra uit India (Hindoe Algebra)
De opvolgers van de Grieken in de geschiedenis van wiskunde waren de Hindoes uit India. De Hindoe beschaving gaat terug naar ten minste 2000 voor Christus. De wiskundige verslagen dateren van ongeveer 800 voor Christus, maar werden van belang door en na Griekse invloeden. De wiskunde uit India was gebaseerd op en kwam voort uit de belangstelling voor astronomie en astrologie. Een tientallig stelsel, het positionele notatie-systeem was de standaard rond 600 na Christus. Nul werd als getal beschouwd en bewerkingen met het getal nul werden besproken. Bekijk ook de symbolen die gebruikt werden voor het Hindoe getalsysteem .

Zij introduceerden negatieve getallen om (geld)schulden weer te geven. Het eerste gebruik dat bekend is, is van Brahmagupta rond het jaar 628. Bhaskara zag in, dat een positief getal twee (vierkante) wortels heeft. De Hindoes ontwikkelden ook correcte procedures om met irrationale getallen te werken.

Zij boekten vooruitgang in zowel algebra als in rekenkunde. Zij ontwikkelden één of andere "symbolisme" dat, hoewel niet uitgebreid, afdoende was om Hindoe algebra als bijna symbolisch te classificerende - zeker meer dan de "syncopatische" algebra van Diophantus. Echter alleen de stappen in de oplossingen van problemen werden geponeerd; redenen of bewijzen ontbraken.

De Hindoes erkenden dat de vierkantsvergelijkingen twee wortels hadde en maakten onderscheid in negatieve en irrationale wortels. Zij konden echter niet alle vierkants-vergelijkingen oplossen, aangezien zij geen (vierkante) wortels van negatieve getallen als uitkomsten accepteerden. In onbepaalde vergelijkingen streefden de Hindoes Diophantus voorbij. Aryabhata bevatte oplossingen met gehele getallen voor vergelijkingen als y = ax + b. Qua methode gelijkwaardig aan de moderne methode. Zij behandelden eveneens onbepaalde vierkantsvergelijkingen.
Bekijk in ieder geval: Wiskunde in het oude India

6. Arabische Algebra
In de 7e en 8e eeuwen veroverden de Arabieren India. In de daarop volgende eeuwen (tot in de 14^e eeuw) beoefenden zij de kunsten en de wetenschappen en waren verantwoordelijk voor het leeuwendeel van de wetenschappelijke vooruitgang in het westen. Hoewel de taal Arabisch was waren veel van de geleerden Grieken, Christenen, Perzen of Joden. Hun waardevolste bijdrage was het behoud van het "Griekse Leren" tijdens de Middeleeuwen. Het is door hun vertalingen, dat veel van wat wij vandaag over de Grieken weten, beschikbaar werd. Daarnaast leverden zij ook een aantal eigen originele bijdragen.

Zij namen Hindoe getal-symbolen over en het idee van positionele notatie. Zij verbeterden die vervolgens. Deze cijfers (het Hindoe-Arabische getallen-systeem) en algoritmen voor bewerkingen werden overgebracht naar Europa rond 1200 en zijn nu over de hele wereld in gebruik. Bekijk de symbolen die gebruikt werden voor het getalsysteem .

Netals de Hindoes werkten de Arabieren "vrijelijk" met irrationale getallen. Nochtans maakten zij een regressieve stap (een stap achteruit) door negatieve getallen te verwerpen ondanks het feit, dat zij die van de Hindoes hadden geleerd.

Het woord Algebra is ook een bijdrage van de Arabieren. Het woord komt uit de titel van een handboek over het onderwerp, Hisab Al Jabr W’al Muqabala, geschreven in ongeveer 830 door de astronoom/wiskundige Mohammed Ibn-Musa Al Khowarizmi. De titel wordt soms vertaald als "Restoring and Simplification" ofwel als "Transposition and Cancellation". De term "Algoritme" komt van Al Khowarizmi. De algebra van de Arabieren was overigens volledig retorisch.

De Arabieren waren in staat om vierkantsvergelijkingen op te lossen met twee oplossingen; irrationaal was mogelijk, maar meestal werd dat verworpen bij negatieve oplossingen. De dichter/wiskundige Omar Khayyam (1050 - 1130) leverde significante bijdragen tot de oplossing van derde graads vergelijkingen door geometrische methodes te gebruiken d.m.v. doorsneden van kegels. Netals Diophantus en de Hindoes werkten de Arabieren ook met onbepaalde vergelijkingen.
Voor de Arabieren zie: Wiskunde bij de Arabieren

7. Europese Algebra na 1500
Aan het begin van deze periode (periode na 1500) werd Nul aanvaard als getal en werden irrationale getallen vrijelijk gebruikt, hoewel velen zich afvroegen of het inderdaad wel getallen waren. De negatieve getallen waren bekend maar werden niet volledig aanvaard. De complexe getallen bleven nog altijd buiten beschouwing. De volledige acceptatie van alle componenten van ons vertrouwd getal-systeem kwam pas in de 19de eeuw. De algebra in 1500 was nog grotendeels retorisch. De wiskunde van de renaissance werd onder meer gekenmerkt door de opkomst van de algebra.

In de 16de eeuw was er grote vooruitgang in techniek en in het bijzonder in de oplossing van de 2^e en 3^e graads vergelijkingen. Deze prestaties werden door Boyer beschreven als "Misschien de grootste bijdrage voor de algebra sinds de Babyloniërs leerden om vierkants-vergelijkingen op te lossen bijna vier millennia eerder". De publicatie van deze resultaten in 1545 in Ars Magna door Cardano (hij was niet de ontdekker) wordt vaak gezien als het begin van de moderne periode in wiskunde. Cardano was de beste algebraist van zijn tijd, maar zijn algebra was nog steeds retorisch. Verdere inspanningen om polynomische vergelijkingen van hogere graden (hoger dan vier) op te lossen met methodes gelijkend op die die gebruikt werden voor de vierkantsvergelijkingen, kan vergeleken worden met de inspanningen van de oude Grieken om de drie klassieke constructie-problemen op te lossen: zij leidden tot veel goede wiskunde maar ook tot een negatieve resultaten.

Er waren ook op dit moment vele belangrijke verbeteringen van het symbolisme, die een wetenschap van algebra mogelijk maakte - in tegenstelling tot de verzameling van geïsoleerde technieken ("trucjes doos"), die de inhoud van algebra tot op dat moment bepaalde.

De mijlpaal in de vooruitgang van het symbolisme werd gezet door Viète (1540-1603), die letters gebruikte om bekende constanten (parameters) te vertegenwoordigen. Deze vooruitgang bevrijdde algebra van de behandeling van bijzondere vergelijkingen en stond zo een grotere generalisatie toe en opende de mogelijkheid om het verband tussen de coëfficiënten van een vergelijking te bestuderen en de wortels van vergelijkingen ("Theorie van vergelijkingen"). De algebra van Viète was meer syncopatisch van aard dan volledig symbolisch. De symbolische algebra bereikte volledige rijpheid met de publicatie van La Géométrie van Descartes in 1637. Dit werk bood de wereld het vruchtbare huwelijk tussen algebra en meetkunde, dat wij vandaag de dag als analytische meetkunde kennen (die zowel door Fermat als Descartes werd ontwikkeld – onafhankelijk van elkaar).

Tegen het eind van de 17de eeuw deed het weloverwogen en consequent gebruik van symbolisme - in tegenstelling tot bijkomend en toevallig gebruik – en het besef van "machten" en van de generaliseerbaarheid ervan zijn intrede in de wiskunde (Kline). Maar de logische onderbouwing voor de algebra - vergelijkbaar met die in de meetkunde door Euclides - ontbrak.

8. Abstracte (moderne) Algebra
In de 19de eeuw namen de Britse wiskundigen de leiding over in de studie van de algebra. De aandacht ging uit naar vele "Algebra’s" - diverse soorten van wiskundige voorwerpen (vectoren, matrices, transformaties, enz.) en diverse bewerkingen die op deze objecten zouden kunnen worden uitgevoerd. Aldus werd het werkterrein van de algebra uitgebreid; de studie van algebraïsche vorm en structuur was niet langer beperkt tot gewone getal-systemen. De meest significante doorbraak is misschien wel de ontwikkeling van niet-commutatieve algebra. In deze algebra is niet vereist, dat de bewerking van vermenigvuldiging commutatief is. (Het eerste voorbeeld van een dergelijke algebra waren de "Quaternions" van Hamilton (1843.)

Peacock (1791 - 1858) was de stichter van het axiomatische denken in rekenkunde en algebra. Om deze reden wordt hij wel de "Euclides van Algebra" genoemd”. DeMorgan ( 1806 - 1871) breidde het werk van Peacock uit met bewerkingen voor abstracte symbolen. Hamilton (1805 - 1865) toonde aan dat de complexe getallen konden worden uitgedrukt in de formele algebra met bewerkingen gedefinieerd voor geordende paren van reële getallen. ((a, b) + (c, d) = (a+b, c+d); (a, b)(c, d) = (ac-bd, ad+bc)). Gibbs ( 1839 - 1903) ontwikkelde een algebra van vectoren in de driedimensionale ruimte. Cayley ( 1821 - 1895) ontwikkelde een algebra van matricés (dit is de niet-commutatieve algebra).

Het concept van een "Groep" (een reeks bewerkingen met één enkele bewerking, die aan drie axioma’s voldoet) kwam naar voren uit het werk van verscheidene wiskundigen. Misschien wel de belangrijkste stappen werden door Galois (1811-1832) gezet. Door middel van dit concept kon Galois een definitief antwoord op de brede vraag geven over de oplossing van polynomische vergelijkingen door algebraïsche bewerkingen. Zijn werk leidde ook tot een definitieve negatieve oplossing van de drie beroemde constructie-problemen uit de oudheid – aangetoond werd dat ze alle onmogelijk waren onder de opgelegde beperkingen. Het concept van een "veld" of "gebied" werd expliciet gemaakt door Dedekind in 1879.

Peano (1858 - 1932) construeerde een axiomatische behandeling van de natuurlijke getallen in 1889. Hij toonde aan, dat alle andere getallen op een formele manier op basis van de natuurlijke getallen kunnen worden geconstrueerd. ("God created the natural numbers. Everything else is the work of man." - Kronecker).
N.B. U kunt informatie over de geschiedenis van de "Moderne Algebra" vinden op (onder meer) de site: www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/ .

EINDE.

NOTE about "syncope"
When you talk about mag instead of magazine, fab when you mean fabulous, or cred for credibility, you are committing apocope . Perhaps it’s our rush-hurry-urgent age, but it seems that such energetic abbreviations are becoming more common, not merely with students who produce slangy in-terms such as psych, chem and maths (math in the US).
Apocope comes from the Greek word "apokoptein", to cut off, made up of apo-, from or away, plus koptein, to cut. Spelling abbreviations like huntin’ or singin’ are NOT apocopic, because the missing last letter indicates that the final sound of the word has changed, not that it has been lost.
Incidentally, if you instead cut the sound off the start of a word, the right name is aphesis (an example being squire, an aphetic form of esquire); if you drop sounds in the middle (for which the classic-and extreme-example is fo’c’s’le for the crews’ quarters on board ship, in full forecastle), the process is called syncope.
SOURCE: http://www.worldwidewords.org/weirdwords/ww-apo1.htm

Maar er is meer: ook in Afrika, Zuid Amerika (de Maya's en Inca's), Perzië, Japan en b.v. in China hebben diverse ontwikkelingen plaats gevonden, die eigenlijk ook in bovenstaand overzicht een plaats zouden verdienen. Zie onder meer: Wiskunde in het oude Japan , Wiskunde uit Afrika , Geometrie bij de Inca's , Wiskunde bij de Maya's , Wiskunde in het oude China .

De wiskunde/algebra uit het oude Iran is niet of nauwelijks beschreven, maar zou in feite wel in het overzicht opgenomen moeten worden. Enige info vind u op de sites: Iran bb com: Algebra , Iranfo.com: Mathematics en Iran chamber: Astronomie en Algebra.
In http://mathforum.orgepigone/historia/ wordt medegedeeld over de (oud) Perzische Wiskunde/Algebra het volgende:
"Whatever mathematical tradition existed in the Old Persian of the Achaemenid Empire was not transmitted into Pahlavi or Middle Persian in Sassanian times, and as far as I know is entirely lost. There's lots of Persian mathematics in the Islamic period, of course, but little survives from earlier eras. Herodotus in Book III of the _Histories_ mentions monetary standards in use in the reign of Darius, and probably a few similar details about practical computation could be gleaned from other historical writings and inscriptions, but I don't know of any. If forced to guess, I'd say that since the Persian Empire originally derived its script and its administrative structure from those of the scribes and bureaucrats of first-millennium Mesopotamia, its mathematics might well have resembled theirs; but that's just a guess".
[ Kim Plofker, Department of the History of Mathematics, Brown University ]